Exponentialfunktionen beschrieben Wachstumsprozesse, bei denen das Wachstum selbst noch wächst. Das sind zum Beispiel Zinseszinsen oder die Coronaviren ohne Eindämmung. Wachstum kann auch negativ sein, etwa beim Zerfall von Atomen werden es exponentiell weniger. [br][br]Bei einer Exponentialfunktion steht die Lösungsvaribale (meistens x) als Exponent, also oben an einer Zahl. Eine Exponentialfunktion ist beispielsweise [math]f\left(x\right)=3\cdot5^x[/math][br][br]Die allgemeine Funktion der Exponentialfunktion ist [math]f\left(x\right)=a\cdot b^x[/math]. Dabei ist [math]a[/math] der Startwert und [math]b[/math] die Basis. Der Startwert beschreibt, mit wie viel wir starten - logisch. Die Basis ist der Wachstumsfaktor, also um wie viel es wächst. Dabei gilt: Gleichbleibend [math]=100\%[/math] ist der Wachstumsfaktor [math]1,00[/math].[br][br]Beispiel: Max hat [math]5€[/math] und durch Zauberei verdoppelt sich das Geld jede Woche. Dann lautet die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=5\cdot2^x[/math].

Den Startwert weiß man natürlich in der Regel direkt aus der Aufgabe, aber wie kommen wir an den Wachstumsfaktor? Ein paar Beispiele:[br][br][math]15\%[/math] Wachstum [math]\Longleftrightarrow[/math] Wachstumsfaktor [math]1,15[/math][br][math]89\%[/math] Wachstum [math]\Longleftrightarrow[/math] Wachstumsfaktor [math]1,89[/math][br][math]0\%[/math] Wachstum [math]\Longleftrightarrow[/math] Wachstumsfaktor [math]1,00[/math][br][br]Du musst also einfach nur die Prozentwerte als Kommazahl zu [math]1,00[/math] addieren. Bei negativem Wachstum ist es ähnlich, nur ziehen wir dieses Mal die Prozentwerte von [math]1,00[/math] ab:[br][br][math]5\%[/math] negatives Wachstum [math]\Longleftrightarrow[/math] Wachstumsfaktor [math]0,95[/math][br][math]60\%[/math] negatives Wachstum [math]\Longleftrightarrow[/math] Wachstumsfaktor [math]0,4[/math][br][math]99\%[/math] negatives Wachstum [math]\Longleftrightarrow[/math] Wachstumsfaktor [math]0,01[/math]

Um aus einem Graphen die Funktionsgleichung zu ermitteln, brauchst du den Startwert und den Wachstumsfaktor. Der Startwert kannst du einfach auf der y-Achse ablesen. Für das Wachstum suchst du heraus, um wie viel die Funktion von einem zum nächsten x-Wert wächst.

Der Startwert ist offensichtlich 4. Dann betrachten wir die Punkte [math]A\left(0,4\right)[/math] und [math]B\left(1,6\right)[/math]. Hier wächst die Funktion von 4 auf 6, also um 50%. Das entspricht dem Wachstumsfaktor 1,5. Die Funktionsgleichung lautet also [math]f\left(x\right)=4\cdot1.5^x[/math].