[br]Zbadamy, czy w otoczeniach punktów [math]A=(0,0)[/math], [math]B=(-\sqrt[3]{2},1)[/math] i [math]C=(0,-\sqrt{3})[/math] istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje zmiennej [math]x[/math] uwikłane równaniem [math]x^3-y^3+3y=0[/math].[br][br]W tym celu wykorzystamy następujące twierdzenie:[br]Jeśli funkcja dwóch zmiennych [math]F[/math] posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w otoczeniu punktu [math]P_0=(x_0,y_0)[/math] oraz[center][math]F(P_0)=0[/math] i [math]F'\!\!_y(P_0)\ne0[/math],[/center]to w pewnym otoczeniu punktu [math]x=x_0[/math] istnieje[b] dokładnie jedna [/b]funkcja [math]y=f(x)[/math] uwikłana równaniem [math]F(x,y)=0[/math] i spełniająca warunek [math]f(x_0)=y_0[/math]. [br][table] [tr][br] [td][color=#980000][b][size=200]! [/size][/b][/color][/td][br] [td][size=85][size=85][/size][/size][size=85]Funkcje uwikłane, o których mowa w powyższym twierdzeniu to funkcje zmiennej [math]\scriptstyle x[/math]. Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji uwikłanych zmiennej [math]\scriptstyle y[/math] (patrz przykład 1.4).[/size][br][/td][br][/tr][br][/table][u][br]Rozwiązanie.[/u][br]Definiujemy pomocniczą funkcję [math]F[/math] i sprawdzamy założenia twierdzenia w każdym punkcie oddzielnie.[br][center][/center]

Założenia twierdzenia są spełnione dla punktów [math]A[/math] i [math]C[/math], a zatem[br][list][*]istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f(x)[/math] określona na pewnym otoczeniu punktu [math]x=0[/math] taka, że [math]f(0)=0[/math] oraz[/*][*]istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=g(x)[/math] określona na pewnym otoczeniu punktu [math]x=0[/math] taka, że [math]g(0)=-\sqrt{3}[/math]. [/*][/list]Twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu funkcji uwikłanej zmiennej [math]x[/math] na otoczeniu punktu [math]B[/math]. Aby rozwiązać ten problem trzeba zastosować inną metodę.[br][br][u]Uwaga.[/u] Można pokazać, że w otoczeniu punktu [math]B[/math] istnieje funkcja uwikłana zmiennej [math]y[/math] i funkcja ta ma minimum lokalne w [math]y=1[/math]. W konsekwencji w otoczeniu punktu [math]B[/math] nie istnieje funkcja uwikłana zmiennej [math]x[/math].[br]

[color=#666666][i][size=85]Aby zobaczyć funkcję uwikłaną, której wykres przechodzi przez dany punkt, przekliknij w ten punkt.[/size][/i][/color]