[b]Función inversa[/b][b][math][/math][/b][br][br]Sea [math]f\left(x\right)=y[/math] una función [b]uno a uno[/b]. Se define la[b] función inversa de f(x)[/b] a la función [math]f^{-1}\left(x\right)[/math] tal que el dominio de [math]f^{-1}\left(x\right)[/math] es el rango de f(x) y el rango de [math]f^{-1}\left(x\right)[/math] es el dominio de f(x). [br][br]Así por ejemplo, si f(x) = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} se tiene que:[br][br] Dominio de [math]f\left(x\right)=\left\{1,2,3,4\right\}[/math] , rango de [math]f\left(x\right)=\left\{2,4,6,8\right\}[/math].[br][br] Entonces, dominio de [math]f^{-1}\left(x\right)=\left\{2,4,6,8\right\}[/math] y rango de [math]f^{-1}\left(x\right)=\left\{1,2,3,4\right\}[/math] [br][br][b]Propiedad de la función inversa[br][br][/b]Si [math]f^{-1}\left(x\right)[/math] es la función inversa de [math]f\left(x\right)[/math], se cumple que la composición de las dos funciones es la función identidad f(x) = x: [br] [math]f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x[/math] y [math]f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x[/math][br][br]Ejemplo:[br][br]Comprobar si la función [math]f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x}[/math] es la función inversa de [math]f\left(x\right)=x^2\thinspace\thinspace si\thinspace\thinspace x\ge0[/math]: [br][br] [math]f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=f\left(\sqrt{x}\right)=\left(\sqrt{x}\right)^2=x[/math][br] [math]f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=f-1\left(x^2\right)=\sqrt{x^2}=x[/math] [math]\therefore[/math] Sí son funciones inversas.[br][br]La recta y = x es bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano y es el eje de simetría de f(x) y su inversa. Esto significa que todo punto de f(x) tiene su correspondiente punto opuesto a la recta y = x. Esta propiedad se puede utilizar para graficar la función inversa de una función dada. [br][br][br][i]A continuación se presentan varios applets en los que se muestran algunos ejemplos de funciones con su respectiva función inversa. Nótese que el dominio y el rango se intercambian. [br][br]En todos los applets se muestra la función identidad para verificar la propiedad de la función inversa: Active el punto en f(x) y su correspondiente en la función inversa. Verifique las coordenadas de los dos puntos. La ubicación del punto A se puede modificar digitando la abcisa en la casilla de entrada o arrastrando el punto sobre la gráfica de f(x). [br][br][/i][b]Applet 1): Funciones de gráfica lineal, f(x) = m x + b[br][/b][br]Se puede obtener función constante (m = 0), función lineal (b = 0 y m [math]\ne[/math] 0) o función afín (m [math]\ne[/math] 0, b [math]\ne[/math] 0). [br][br]Las función lineal y la función afín por ser uno a uno tienen función inversa: la función inversa de una lineal es otra función lineal y la inversa de una afín es otra afín. En cambio, la función constante no tiene inversa porque no es uno a uno y no se puede restringir su dominio. [br][br][b]Ejercicio:[/b][br][br]Calcule la función inversa de f(x) = 3x + 2[br][br]Normalmente se utilizan 3 pasos:[br][br]1. Se escribe la ecuación como y = 3x + 2[br][br]2. Se despeja [b]x[/b] en términos de [b]y[/b]: [math]x=\frac{y-2}{3}[/math][math][/math][br][br]3. Se intercambian las variables [b]x[/b] y [b]y[/b]: [math]y=\frac{x-2}{3}[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{3}[/math] [br][br]Verifique en el applet la ecuación de la función inversa.

[b]Applet 2): Función cuadrática, f(x) = a x[sup]2[/sup] + b x + c[br][br][/b]Dado que la función cuadrática no es una función uno a uno, es necesario restringir su dominio tomando por separado las dos ramas de la parábola: rama derecha (los valores de [b]x[/b] mayores o iguales a la abcisa del vértice de la parábola) y la rama izquierda (los valores de [b]x[/b] menores o iguales a la abcisa del vértice de la parábola).[br][br][i]Solamente con fines ilustrativos se muestra la gráfica completa de la parábola.[br][br][/i][b]Ejercicio:[/b][br][br]Calcule la función inversa de[math]f\left(x\right)=3x^2-2x+1[/math]:[br][br] [math]y=3x^2-2x+1[/math][br] [math]3x^2-2x+1-y=0[/math] se resuelve la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general, donde a = 3, b = -2, c = 1 - y:[br] [math]x=\frac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(1-y\right)}}{2\left(3\right)}[/math][br] [math]x=\frac{2\pm\sqrt{12y-8}}{6}[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x_1=\frac{2+\sqrt{12y-8}}{6}[/math] y [math]x_2=\frac{2-\sqrt{12y-8}}{6}[/math][br][br] Reemplazando las variables:[br][br] [math]y_1=\frac{2+\sqrt{12x-8}}{6}[/math] y [math]y_2=\frac{2-\sqrt{12x-8}}{6}[/math] [br][br] Por lo tanto se obtienen dos funciones inversas (una por cada rama de la parábola):[br][br] [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{2+\sqrt{12x-8}}{6}[/math] y [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{2-\sqrt{12x-8}}{6}[/math][br][br]Verifique las funciones inversas en los 2 applets siguientes.

[b]Applet 3): Función cúbica incompleta, f(x) = a x[sup]3[/sup] + d[br][/b][br]La función cúbica es uno a uno. Por lo tanto no es necesario restringir el dominio. [br][br][b]Ejercicio:[/b][br][br]Calcule la función inversa de [math]f\left(x\right)=2x^3+3[/math]:[br][br] [math]y=2x^3+3[/math][br] [math]x=\sqrt[3]{\frac{y-3}{2}}[/math][br][br] Intercambiando variables, [math]f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}[/math][br][br]Verifique en el applet la ecuación de la función inversa.

[b]Applet 4): Función exponencial, f(x) = a[sup]x[/sup] siendo a > 0 y a [math]\ne[/math] 1: [br][/b][br]La función también es uno a uno. [br][br][b]Ejercicio:[/b][br][br]Calcule la función inversa de [math]f\left(x\right)=3^x[/math]:[br][br] [math]y=3^x[/math] [br] [math]log_3\left(y\right)=x\ast log_3\left(3\right)[/math][br] [math]log_3\left(y\right)=x\ast\left(1\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x=log_3\left(y\right)[/math][br][br] Por lo tanto, [math]f^{-1}\left(x\right)=log_3\left(x\right)[/math]: la función logarítmica es la función inversa de la exponencial.

[b]Applet 5): Función logarítmica, f(x) = ln(x)[/b]:[br][br]Como se sabe [b]ln(x)[/b] es el logaritmo natural de [b]x [/b]cuya base es el número de Euler ([b]e[/b]): [math]ln\left(x\right)=log_e\left(x\right)[/math].[br][br]Así mismo se sabe que [b]log(x)[/b] es el logaritmo decimal de [b]x[/b] cuya base es [b]10[/b]: [math]log\left(x\right)=log_{10}\left(x\right)[/math][br][br]La función logaritmo natural es uno a uno y su función inversa es [math]f^{-1}\left(x\right)=e^x[/math]. [br][br]La función logaritmo decimal también es uno a uno y su función inversa es [math]f^{-1}\left(x\right)=10^x[/math][br][br]Ejercicios: Si se sabe que[br][br] [math]ln\left(5\right)\cong1.60943[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]e^{1.60943}\cong5[/math][br][br] [math]log\left(150\right)\cong2.17609[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]10^{2.17609}\cong150[/math]

[b]Applet 6): Funciones trigonométricas:[br][br] 6.a): Funciones seno y coseno[br][br] 6.b): Funciones tangente y cotangente[br][br] 6.c): Funciones secante y cosecante [br][/b][br]La funciones trigonométricas son funciones periódicas y por lo tanto no son funciones uno a uno. Debido a esto, es necesario limitar el dominio de cada una. [br][br]Comúnmente se utiliza el prefijo [b]arc[/b] para denotar las funciones inversas de las funciones trigonométricas. [br][br] [math]f\left(x\right)=sen\left(x\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=arcsen\left(x\right)[/math] Intervalo [[math]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[/math]][br][br] [math]f\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=arccos\left(x\right)[/math] Intervalo [[math]0,\pi[/math]][br] [br] [math]f\left(x\right)=tan\left(x\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=arctan\left(x\right)[/math] Intervalo ([math]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[/math])[br][br] [math]f\left(x\right)=cot\left(x\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=arccot\left(x\right)[/math] Intervalo([math]0,\pi[/math])[br][br] [math]f\left(x\right)=sec\left(x\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=arcsec\left(x\right)[/math] Intervalo [[math]0,\frac{\pi}{2}[/math]) [math]\cup[/math] ([math]\frac{\pi}{2},\pi[/math]][br][br] [math]f\left(x\right)=csc\left(x\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f^{-1}\left(x\right)=arccsc\left(x\right)[/math] Intervalo [[math]-\frac{\pi}{2},0[/math]) [math]\cup[/math] ([math]0,\frac{\pi}{2}[/math]][br][br][i]En los tres applets siguientes, si se activa el Dominio y Rango de una función y de su inversa se muestra una tabla en la que aparecen el dominio y rango de las dos funciones. [br][br]Además de eso, se muestran las coordenadas de los puntos A y su correspondiente opuesto, A'. La abcisa del punto A es el valor de [b]x[/b] en radianes. Se puede modificar en la casilla de entrada. Así por ejemplo, en la función sen(x):[br] A = (1.57, 1) y A' = (1, 1.57)[br][br]Esto significa que sen(1.57) = 1 y arcsen(1) = 1.57 radianes.[br][br][/i]Recuerde: el punto A se puede desplazar sobre la gráfica!