Sistema Cartesiano e Gráficos de Funções - Noções básicas
O livro "Sistema Cartesiano e Gráficos de Funções - Noções iniciais", tem como base a terceira edição renovada do livro didático "Praticando matemática, 9" de Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos, publicado pela Editora do Brasil no ano de 2012. Além de trabalhos criados na plataforma GeoGebra por inúmeros autores que serão sitados no último capítulo deste trabalho.
Table of Contents
- Capa
- Capa
- Apresentação
- A autora
- Agradecimentos
- O livro
- Sistema Cartesiano
- 2.1. Sistema Cartesiano - Contexto histórico
- 3.2. Localização
- 3.3. Sistema cartesiano
- 3.3.1. Sistema cartesiano - EXERCÍCIOS
- 3.4. Coordenadas geográficas
- 3.5. Exercícios de fixação
- Funções
- 4.1. Conceito de função
- 4.1.1. Conceito de função - EXERCÍCIOS
- 4.2. Domínio, contradomínio e imagem de uma função
- 4.2.1. Domínio, contradomínio e imagem - EXERCÍCIOS
- 4.3. As funções e suas aplicações
- 4.3.1. As funções e suas aplicações - EXERCÍCIOS
- Gráfico das funções de primeiro e segundo grau
- 5.1. Construindo gráficos de funções
- 5.2. Construção do gráfico da Função Afim com o GeoGebra
- 5.3. Função Afim - Analisando o gráfico da função
- 5.4. Função Quadrática: relação entre os coeficientes e o gráfico.
- 5.5. Função Quadrática - Estudo avançado do gráfico
- Referências
- 6.1. Referências
Capa
[center][b][size=200]SISTEMA CARTESIANO E GRÁFICOS DE FUNÇÕES[br][br]NOÇÕES BÁSICAS[br][br][/size][/b][/center]
[right][b][br][br][br][br]Projeto feito para à Disciplina Estágio Supervisionado: Projeto[br]no Ensino como requisito parcial obtenção da aprovação[br]nesta matéria, tendo como orientador o Prof. Fernando Marcussi[br][br][/b][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][/right]
[center][/center][center][b]GASPAR[br] 2020[br][/b][/center][br][br]
A autora
Isabela Pereira Geremias
Nasceu em 20 de dezembro de 1995 na cidade de Gaspar - SC. É licencianda em matemática e professora temporária de matemática na Secretaria Estado da Educação de Santa Catarina. [br]professora.isa.mat@gmail.com
2.1. Sistema Cartesiano - Contexto histórico
O grande René Descartes
[justify][/justify][justify][size=150]Nesta livro estamos trabalhando com o Sistema cartesiano, assim denominado em homenagem a René Descartes du Perron, nascido em 31 de março de 1596 na cidade francesa de La Haye (hoje chamada La Haye-descartes). Descartes, desde cedo na sua vida escolar, impressionou seus professores não só pela inteligência, mas principalmente por ser questionador, querendo saber o porquê de tudo e refletindo sempre a respeito do que aprendia.[/size][br][/justify]
[justify][/justify][size=150][justify]Além da matemática, descartes dedicou-se também à Filosofia e à Física. Estudou, por exemplo, o comportamento da luz. Encha um copo de vidro com água, coloque dentro dele um canudo e observe-o. Você terá a impressão de que o canudo entortou. Esse fenômeno chama-se refração e acontece quando os raios de luz passam de certos meios para outros (ar-água).[/justify][/size]
[justify][size=200][size=150]Descartes provocou profundas mudanças na Filosofia. Sua obra mais importante, intitulada Discurso sobre o Método, foi publicada em 1637. De acordo com Descartes, a compreensão de um problema está ligada com a organização e clareza com que pensamos sobre ele. Se dividirmos um problema maior em uma série de pequenos problemas e os analisarmos um a um, chegaremos mais facilmente à solução.[br]Descartes é considerado o “pai da filosofia moderna”. Acreditava que os homens se diferenciavam dos animais porque tinham alma. Essa alma, segundo ele, era a razão – a capacidade de pensar.[br]A razão, tão valorizada por descartes, está presente em sua mais célebre frase: “Se duvido é porque penso; se penso é porque existo.” Ou, simplesmente: “Penso, logo existo.”[br]Na matemática, trouxe contribuições importantes e desenvolveu o campo que hoje conhecemos como Geometria Analítica.[br]Fonte de pesquisa: <www.oregonstate.edu/instruct/phl302/philosophers/descartes.html>[/size][/size][/justify]
Penso, logo existo.
4.1. Conceito de função
Outro exemplo: A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre. Nessa afirmação usamos a expressão "depende de" ou “é função de” para mostrar que a quantidade de combustível depende do número de quilômetros ro
[size=150]Já percebemos a ligação entre a palavra função e a relação de interdependência entre os valores de grandezas, mas o que é função? Vamos descobrir mais?[/size]
Veja na tabela os números ditos pelo professor e as respostas dos alunos:
A resposta dos alunos depende do número escolhido pelo professor.[br]Observe que a cada [b]número x [/b]dito pelo professor corresponde a [b]um único[/b] [b]resultado correto y[/b] para a resposta dos alunos.[br][br]A fórmula que expressa a relação entre x e y é [color=#ff0000][b]y = 2x + 3.[br][/b][/color]Nesse exemplo, dizemos que [color=#ff0000][b]y esta em função de x.[br][/b][/color][br][b]A fórmula[/b] [b][color=#ff0000]y = 2x + 3[/color] é a lei de formação dessa função.[/b]
Outro modo de representar essa tabela é por meio de um diagrama:
Formamos um conjunto A com os números dados pelo professor e um conjunto B com as respostas dos alunos. Como os conjuntos que relacionamos são A e B, dizemos que essa é uma função de A em B.
Sempre que atribuímos um valor a x e determinamos seu correspondente y por meio da lei de formação da função, obtemos um par de números. Podemos escrever os pares ordenados (x, y) formados no nosso exemplo.
Observe o seguinte exemplo:
[justify][size=150]Formamos um [b]conjunto A[/b] com os números escolhidos pelo professor e um [b]conjunto B [/b]com os números que estavam escritos no quadro. Observe que cada seta faz corresponder o número dado pelo professor com o número (ou os números) registrados no quadro que são menores do que ele. A relação entre o número [b]x[/b] escolhido pelo professor e o número [b]y[/b] que é a resposta dos alunos pode ser representada por [b]y < x.[br][br]No entanto, aqui, y não é função de x. Veja por quê:[br]• Para um mesmo valor de x do conjunto A, temos mais do que um correspondente y no[br]conjunto B.[br]• Há um valor de x em A que não tem correspondente y em B[br][br][/b]No nosso exemplo, para x = 1 em A não temos correspondente y em B. Além disso, x = 5 tem[br]dois correspondentes em B.[br]Por isso, não temos uma função.[/size][/justify]
Assista o vídeo a seguir e faça as atividades da próxima folha de trabalho.
5.1. Construindo gráficos de funções
Vamos aprender a construir gráficos de algumas funções.
[size=150][justify][b]C[/b][b]omeçaremos construindo o gráfico da função de lei de formação [/b][color=#ff0000][b]y = 2x[/b] [/color](essa função associa cada número real x ao seu dobro y)[br][br]Inicialmente montamos uma tabela atribuindo valores a x e calculando, por meio da lei de formação, os valores de y correspondentes. Assim obtemos alguns dos pares ordenados (x, y) dessa função.[/justify][/size]
em seguida localizamos no plano cartesiano os pontos que representam cada par ordenado. Observe que os pontos estão alinhados. Quanto mais pares ordenados da função representarmos, mais pontos alinhados obteremos.
todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico, que é uma reta.
[size=150][b]Outro exemplo: Como será o gráfico da função dada por [color=#ff0000]y = -3x + 1[/color]?[/b][/size]
Montamos uma tabela atribuindo alguns valores para x, calculamos os valores de y por meio da lei de formação da função e representamos no sistema cartesiano os pares ordenados (x, y) obtidos.
Os pontos obtidos estão alinhados. Quanto mais pares ordenados da função representarmos, mais pontos alinhados obteremos. São infinitos pares ordenados, pois x pode ser qualquer número real. O gráfico dessa função é uma reta.
A resposta é não. Vamos montar uma tabela com alguns valores de x e de y para a função dada por y = x² + 2x -1 e representar os pares ordenados (x, y) no sistema cartesiano.
Os pontos não estão alinhados, portanto não determinam uma reta, mas sim uma PARÁBOLA.
Nessa função, x pode ser qualquer número real. Podemos fazer x = 0,5; x = 124; x = 2,5 etc. Vamos atribuir mais valores a x na tabela, obtendo outros pares ordenados (x; y) da função. Representando mais pontos no sistema cartesiano nos aproximaremos mais
Podemos prosseguir atribuindo valores a x e localizando ainda mais pares ordenados. Todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico. O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola, cuja forma você vê abaixo.
[size=150][justify]Observe que a parábola possui um [b]eixo de simetria[/b]. O ponto da parábola que pertence ao eixo de simetria recebe o nome de [b]vértice (V) da parábola[/b]. No gráfico dessa função o vértice tem coordenadas (-1, -2). [br][br]A parábola que traçamos tem concavidade voltada para cima (ela é “aberta para cima”). No entanto, há funções cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo.[/justify][/size]
Para concluir e sanar eventuais dúvidas, assista ao excelente vídeo do Professor Ferretto.
6.1. Referências
GeoGebra
Links para acesso ao perfil dos autores de atividades usadas no livro:[br][url=https://www.geogebra.org/u/topicosdegeometria20151][br]https://www.geogebra.org/u/topicosdegeometria20151[br][br][/url][url=https://www.geogebra.org/u/jeferson+santoro]https://www.geogebra.org/u/jeferson+santoro[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/u/mario.abbondati]https://www.geogebra.org/u/mario.abbondati[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/u/matematic-ifpr]https://www.geogebra.org/u/matematic-ifpr[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/u/jc%C3%A1ssio]https://www.geogebra.org/u/jc%C3%A1ssio[/url]
Livro didático
Andrini, Álvaro - Praticando matemática, 9 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – 3. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2012. – (Coleção praticando matemática).[br]
Capa do livro
Contracapa do livro
Vídeos
[justify]1. Título: Funções: Noções Básicas de Plano Cartesiano (Aula 4 de 15).[br] Plataforma: YouTube [br] Canal: Ferreto matemática [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A&feature=youtu.be[/url][br][br]2. Título: CARTOGRAFIA | QUER QUE DESENHE | DESCOMPLICA[br] Canal: Descomplica [br] Plataforma: Youtube [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=tR_rXa4BdpE&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=tR_rXa4BdpE&feature=youtu.be[br][/url] [br]3. Título: Curtas Matemáticos - Conceito de função[br] Plataforma: YouTube [br] Canal: labim [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ&feature=youtu.be[br][br][/url]4. Título: Funções: Noções Básicas (Aula 1 de 15).[br] Plataforma: YouTube [br] Canal: Ferreto Matemática [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A&feature=youtu.be][/url][url=https://www.youtube.com/watch?v=SPZqQ5qn3P0&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=SPZqQ5qn3P0&feature=youtu.be[br][/url][/justify]5. Título: Funções: Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem (Aula 2 de 15) [br] Plataforma: YouTube [br] Canal: Ferreto Matemática [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=G3zjNRYbDv8&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=G3zjNRYbDv8&feature=youtu.be[br][br][/url]6. Título: Para que servem as funções?[br] Plataforma: YouTube [br] Canal: TV Poliedro [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=NkyGuxnBS4w&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=NkyGuxnBS4w&feature=youtu.be[/url][br][br]7. Título: Funções: Construção de Gráficos (Aula 5 de 15).[br] Plataforma: YouTube [br] Canal: Ferreto Matemática [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=K7wtLRXGLJw]https://www.youtube.com/watch?v=K7wtLRXGLJw[/url] [br][br]8. Título: Função do Segundo Grau (Função Quadrática): Conceitos Iniciais (Aula 1 de 9)[br] Plataforma: YouTube [br] Canal: Ferreto Matemática [br] Link para acesso: [url=https://www.youtube.com/watch?v=Z5aVW_Zgifk&feature=youtu.be]https://www.youtube.com/watch?v=Z5aVW_Zgifk&feature=youtu.be[/url][br]