Ungewohnte Perspektiven auf Würfel, Kegel und Kugel

Reinhard Schmidt, Apr 7, 2017

Elementare Körper wie Würfel, Kegel und Kugel besitzen eine hohe Faszination, nicht zuletzt deshalb, weil sie ebenso einfach wie herausfordernd sind. In diesem GeoGebraBook soll untersucht werden, wie sich Form und Inhalt der Schnittfläche verändert, wenn eine Ebene durch einen der elementaren Körper „wandert“.

Table of Contents

  1. Vorstellungsübungen
    1. Schnitte durch den Würfel längs der Raumdiagonale
    2. Schnitte durch das Oktaeder
    3. Schnitte durch die Kugel
    4. Schnitte durch den Kegel
    5. Net of Cube
  2. Schnittflächengraphen
    1. Flächeninhalt von Würfelschnitten
    2. Schnittflächengraph für Schnitte durch die Kugel
    3. Schnittflächengraph für Schnitte durch den Würfel
    4. Schnittflächengraph für Schnitte durch das Oktaeder
  3. Volumenberechnung
    1. Kugelschnitte
    2. Kegelschnitte
  4. Perspektivwechsel
    1. Pyramide
    2. Ellipsoid
  5. Misc
    1. Würfelschnitte und Augensumme
    2. Schnitt einer beliebigen Ebene mit einem Würfel
    3. Schnitt eines Oktaeders mit einer Ebene

1.

Vorstellungsübungen

Stellen Sie sich vor, dass eine Ebene längs einer (beliebigen) Geraden durch einen Würfel, durch eine Kugel, durch einen Kegel oder durch einen anderen Körper „wandert“: Dann entstehen je nach gegenseitiger Lage von Ebene und Körper unterschiedliche Schnittfiguren.

  • 1. Schnitte durch den Würfel längs der Raumdiagonale
  • 2. Schnitte durch das Oktaeder
  • 3. Schnitte durch die Kugel
  • 4. Schnitte durch den Kegel
  • 5. Net of Cube

1.1.

Schnitte durch den Würfel längs der Raumdiagonale

Beschreiben Sie, welche Schnittfiguren bei der „Wanderung“ der Ebene durch den Würfel entstehen.
– Reinhard Schmidt

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Schnittflächengraphen

Spannende Fragestellungen und überraschende Erkenntnisse ergeben sich, wenn man die Schnittfiguren nicht isoliert betrachtet, sondern die funktionale Abhängigkeit des Inhalts der Schnittfläche von dem zurückgelegten Weg der Ebene, die durch den jeweiligen Körper wandert.

  • 1. Flächeninhalt von Würfelschnitten
  • 2. Schnittflächengraph für Schnitte durch die Kugel
  • 3. Schnittflächengraph für Schnitte durch den Würfel
  • 4. Schnittflächengraph für Schnitte durch das Oktaeder

2.1.

Flächeninhalt von Würfelschnitten

In der Wertetabelle rechts geben die x-Werte (Spalte A) die „Höhe“ der Ebene und die y-Werte (Spalte B) den Inhalt der zugehörigen Schnittfigur an. [br][br]Skizzieren Sie den Graphen (den „Schnittflächengraph“). [br]Können Sie eine Funktionsgleichung angeben?
– Reinhard Schmidt

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Volumenberechnung

Die Schnittflächengraphen ermöglichen einen schnellen Weg zur Volumensberechnung beliebiger Körper.

  • 1. Kugelschnitte
  • 2. Kegelschnitte

3.1.

Kugelschnitte

Für die Kugel ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel.
Erläutere den Zusammenhang zwischen dem Schnittflächengraphen und dem Kugelvolumen.
– Reinhard Schmidt

3.2.

–

4.

Perspektivwechsel

Wenn man zu einem Schnittflächengraphen die Funktionsgleichung gefunden hat, kann man die Perspektive umkehren und zu dieser Funktion einen "passenden" Köper suchen, d.h. einen (weiteren) Körper, für den der Schnittflächengraph so aussieht wie der angegebene Graph. In einem ersten Beispiel suchen wir Körper, deren Schnittflächengraph zur Gleichung A(h) = 1- h² passt.

  • 1. Pyramide
  • 2. Ellipsoid

4.1.

Pyramide

Eine Pyramide zu f(z) = 1 - z²
– Reinhard Schmidt

4.2.

–

5.

Misc

  • 1. Würfelschnitte und Augensumme
  • 2. Schnitt einer beliebigen Ebene mit einem Würfel
  • 3. Schnitt eines Oktaeders mit einer Ebene

5.1.

Würfelschnitte und Augensumme

Begründe, dass jeder Punkt für ein Ergebnis beim Würf mit drei Würfeln stehet.[br]Begründe, dass die Augensumme 11 beim Würf mit drei Würfeln wahrscheinlicher ist als die Augensumme 5.[br]Ermittle die Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Augensummen beim Würf mit drei Würfeln.
– Reinhard Schmidt

5.2.

–

5.3.

–

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