
-
Elemi geometriai problémák
-
1. Egybevágóság
- Egy KöMaL probléma
- 2025. 66.
- Kék feladatgyűjtemény 317.
- Kék feladatgyűjtemény 319.
- Kék feladatgyűjtemény 328.
- Kék feladatgyűjtemény 345.
- Kék feladatgyűjtemény 325.
- Kék feladatgyűjtemény 378.
- Kék feladatgyűjtemény 379.
- Kék feladatgyűjtemény 398. a)
- Kék feladatgyűjtemény 400. a)
- 2026. 20.
- Z. 3. 2.
- Z. 3. 5.
- Forgatásos probléma
- Hasonlóság 4.
- Hasonlóság 5.
- 2026. 92.
- 2026. 142.
- Húrnégyszög - magasságpontok
- 2026. 150.
-
2. Háromszög köré írt kör
- Háromszög köré írt kör érintője
- Egy KöMaL probléma
- 2025. 40.
- 2025. 72.
- A háromszög oldalfelező merőlegesei
- Az ABC háromszögben ...
- 2026. 54.
- 2026. 60.
- Kék feladatgyűjtemény 1064.
-
3. Háromszögbe írt kör
- Adjuk meg a hiányzó szögeket, ...
- 2025. 341.
- 2026. 155.
-
4. Területszámítás
- Kata - Terület 2.
- Kata - Terület
- Mekkora a háromszög területe?
- A háromszög területe?
- 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?
- 2025. 120.
- 2025. 132.
- 2025. 133.
- 2025. 164.
- 2025. 165.
- 2025. 230.
- 2025. 281.
- Területek aránya
- 2025. 287.
- 2025. 316.
- 2025. 319.
- 2025. 335.
- 2026. 29.
- 2026. 36.
- 2026. 39.
- 2026. 58.
- 2026. 63.
- 2026. 66.
- 2026. 68.
- 2026. 71.
-
5. Szélsőérték problémák
- Minimális hosszúságú törötvonal
- Az ABC egyenlő oldalú háromszög ...
- Egy szögtartomány ...
- Mekkora az ...
- C. 1799.
- 2025. 73.
- 2025. 115.
-
6. Szögfelező
- Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
- 2025. 74.
- 2025. 92.
- C. 1807. Párhuzamos?
- 2025. 126.
- 2025. 127.
- 2026. 37.
- Az ABC háromszög ...
- 2026. 75.
- 2026. 140.
-
7. Érintő körök
- Egy négyzet két szomszédos csúcsára illeszkedő, a szemközti oldalt érintő kör
- Mekkorák ...
- Mekkorák ...
- 2025. 75.
- 2025. 128.
- 2026. 95.
- Kék feladatgyűjtemény 1070.
- 2026. 99.
- 2026. 136.
- Két egymást kívülről érintő kör
-
8. Speciális háromszögek
- Egy háromszögben ...
- 2025. 34.
- 2025. 35.
- 2025. 36.
- 2025. 37.
- 2025. 113.
- 2025. 130.
- Paralelogramma kerülete
- Kék feladatgyűjtemény 241.
- Egy EFGH ...
- Egy mértani helyes probléma
- 2026. 56.
- Az ABC ...
- 2026. 73.
- 2026. 84.
- Hasonlóság 2.
- Billiárd asztal
- 2026. 152.
- Szabályos háromszög négyzetben
-
9. Egyéb
- Mekkora a keresett szög?
- Osztópont
- Mekkora a szög?
- Két turistaház az őket ...
- Egy háromszög magasságai:
- Két vektor különbsége
- 2025. 65.
- 2025. 84.
- 2025. 91.
- 2025. 114.
- B. 5374. Négyzet, rombusz
- B. 5379. Ceva-tételes probléma
- 2025. 129.
- Hogy igazoljam?
- 2025. 257.
- Trapézos problémákhoz
- Körhöz húzott szelő- és érintőszakaszok
- Milyen háromszög?
- Kék feladatgyűjtemény 463.
- Z. 2.
- Egy trapézos probléma
- ABCD paralelogramma.
- Érettségi vizsga feladat
- 2026. 64.
- 2026. 76.
- 2026. 79.
- 2026. 81.
- 2026. 83.
- 2026. 85.
- Hasonlóság 1.
- Hasonlóság 3.
- Hasonlóság 6.
- Hasonlóság 7.
- Tejfölös doboz problémák
- Kék feladatgyűjtemény 1182.
- Trapéz szárait egyenlő arányban osztó pontokat összekötő szakasz
- Kék feladatgyűjtemény 1195.
- Kék feladatgyűjtemény 1065.
- 2026. 97.
- Háromszög szerkesztése
- 2026. 125.
- Egy húrnégyszöges probléma
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Elemi geometriai problémák
Tarcsay Tamás, Apr 24, 2023

Elemi geometriai problémák
Table of Contents
- Egybevágóság
- Egy KöMaL probléma
- 2025. 66.
- Kék feladatgyűjtemény 317.
- Kék feladatgyűjtemény 319.
- Kék feladatgyűjtemény 328.
- Kék feladatgyűjtemény 345.
- Kék feladatgyűjtemény 325.
- Kék feladatgyűjtemény 378.
- Kék feladatgyűjtemény 379.
- Kék feladatgyűjtemény 398. a)
- Kék feladatgyűjtemény 400. a)
- 2026. 20.
- Z. 3. 2.
- Z. 3. 5.
- Forgatásos probléma
- Hasonlóság 4.
- Hasonlóság 5.
- 2026. 92.
- 2026. 142.
- Húrnégyszög - magasságpontok
- 2026. 150.
- Háromszög köré írt kör
- Háromszög köré írt kör érintője
- Egy KöMaL probléma
- 2025. 40.
- 2025. 72.
- A háromszög oldalfelező merőlegesei
- Az ABC háromszögben ...
- 2026. 54.
- 2026. 60.
- Kék feladatgyűjtemény 1064.
- Háromszögbe írt kör
- Adjuk meg a hiányzó szögeket, ...
- 2025. 341.
- 2026. 155.
- Területszámítás
- Kata - Terület 2.
- Kata - Terület
- Mekkora a háromszög területe?
- A háromszög területe?
- 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?
- 2025. 120.
- 2025. 132.
- 2025. 133.
- 2025. 164.
- 2025. 165.
- 2025. 230.
- 2025. 281.
- Területek aránya
- 2025. 287.
- 2025. 316.
- 2025. 319.
- 2025. 335.
- 2026. 29.
- 2026. 36.
- 2026. 39.
- 2026. 58.
- 2026. 63.
- 2026. 66.
- 2026. 68.
- 2026. 71.
- Szélsőérték problémák
- Minimális hosszúságú törötvonal
- Az ABC egyenlő oldalú háromszög ...
- Egy szögtartomány ...
- Mekkora az ...
- C. 1799.
- 2025. 73.
- 2025. 115.
- Szögfelező
- Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
- 2025. 74.
- 2025. 92.
- C. 1807. Párhuzamos?
- 2025. 126.
- 2025. 127.
- 2026. 37.
- Az ABC háromszög ...
- 2026. 75.
- 2026. 140.
- Érintő körök
- Egy négyzet két szomszédos csúcsára illeszkedő, a szemközti oldalt érintő kör
- Mekkorák ...
- Mekkorák ...
- 2025. 75.
- 2025. 128.
- 2026. 95.
- Kék feladatgyűjtemény 1070.
- 2026. 99.
- 2026. 136.
- Két egymást kívülről érintő kör
- Speciális háromszögek
- Egy háromszögben ...
- 2025. 34.
- 2025. 35.
- 2025. 36.
- 2025. 37.
- 2025. 113.
- 2025. 130.
- Paralelogramma kerülete
- Kék feladatgyűjtemény 241.
- Egy EFGH ...
- Egy mértani helyes probléma
- 2026. 56.
- Az ABC ...
- 2026. 73.
- 2026. 84.
- Hasonlóság 2.
- Billiárd asztal
- 2026. 152.
- Szabályos háromszög négyzetben
- Egyéb
- Mekkora a keresett szög?
- Osztópont
- Mekkora a szög?
- Két turistaház az őket ...
- Egy háromszög magasságai:
- Két vektor különbsége
- 2025. 65.
- 2025. 84.
- 2025. 91.
- 2025. 114.
- B. 5374. Négyzet, rombusz
- B. 5379. Ceva-tételes probléma
- 2025. 129.
- Hogy igazoljam?
- 2025. 257.
- Trapézos problémákhoz
- Körhöz húzott szelő- és érintőszakaszok
- Milyen háromszög?
- Kék feladatgyűjtemény 463.
- Z. 2.
- Egy trapézos probléma
- ABCD paralelogramma.
- Érettségi vizsga feladat
- 2026. 64.
- 2026. 76.
- 2026. 79.
- 2026. 81.
- 2026. 83.
- 2026. 85.
- Hasonlóság 1.
- Hasonlóság 3.
- Hasonlóság 6.
- Hasonlóság 7.
- Tejfölös doboz problémák
- Kék feladatgyűjtemény 1182.
- Trapéz szárait egyenlő arányban osztó pontokat összekötő szakasz
- Kék feladatgyűjtemény 1195.
- Kék feladatgyűjtemény 1065.
- 2026. 97.
- Háromszög szerkesztése
- 2026. 125.
- Egy húrnégyszöges probléma
Egybevágóság
-
1. Egy KöMaL probléma
-
2. 2025. 66.
-
3. Kék feladatgyűjtemény 317.
-
4. Kék feladatgyűjtemény 319.
-
5. Kék feladatgyűjtemény 328.
-
6. Kék feladatgyűjtemény 345.
-
7. Kék feladatgyűjtemény 325.
-
8. Kék feladatgyűjtemény 378.
-
9. Kék feladatgyűjtemény 379.
-
10. Kék feladatgyűjtemény 398. a)
-
11. Kék feladatgyűjtemény 400. a)
-
12. 2026. 20.
-
13. Z. 3. 2.
-
14. Z. 3. 5.
-
15. Forgatásos probléma
-
16. Hasonlóság 4.
-
17. Hasonlóság 5.
-
18. 2026. 92.
-
19. 2026. 142.
-
20. Húrnégyszög - magasságpontok
-
21. 2026. 150.
Egy KöMaL probléma
Az ABC szabályos háromszög P belső pontjára APB∢=150°. Milyen kapcsolat van a PA, PB, PC szakaszok között?
Forrás: B.5369.

Háromszög köré írt kör érintője
Adjuk meg az ABC háromszög köré írt kör A pontbeli érintőjének és a BC oldal egyenesének szögét, ha a háromszög B-nél és C-nél levő szögei β és γ!
Forrás: ehazi.hu
Keressünk sejtést!

Bizonyítás

Megjegyzés
Adjuk meg a hiányzó szögeket, ...
... ha I a háromszögbe írt kör középpontja!
Forrás: Gyakori kérdések
Kattintgass a "T" gombra!

Területszámítás
-
1. Kata - Terület 2.
-
2. Kata - Terület
-
3. Mekkora a háromszög területe?
-
4. A háromszög területe?
-
5. 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?
-
6. 2025. 120.
-
7. 2025. 132.
-
8. 2025. 133.
-
9. 2025. 164.
-
10. 2025. 165.
-
11. 2025. 230.
-
12. 2025. 281.
-
13. Területek aránya
-
14. 2025. 287.
-
15. 2025. 316.
-
16. 2025. 319.
-
17. 2025. 335.
-
18. 2026. 29.
-
19. 2026. 36.
-
20. 2026. 39.
-
21. 2026. 58.
-
22. 2026. 63.
-
23. 2026. 66.
-
24. 2026. 68.
-
25. 2026. 71.
Kata - Terület 2.
Ábra
Az ábrán látható kör illeszkedik az egységnyi oldalú szabályos háromszög egyik csúcsára, és érinti a szemközti oldalt. Adjuk meg az ábrán kék színnel jelölt síkidomok területeinek összegét!

Számolás:

Minimális hosszúságú törötvonal

AZ ABCD derékszögű trapézba írt A...B törött-vonal, amelynek 2 pontja van CD-n és 1 AD-n mikor minimális?
Forrás: Quora
Keressünk minimális hosszúságú töröttvonalat!

Miért van ez így?

Vagy

Más megfogalmazásban:
Az ABCD trapéz alakú billiárd asztalon az A pontból merre lőjük a golyót, ha azt akarjuk, hogy sorban a CD, AD, CD oldalakon pattanva eljusson a B pontba?
Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
Csóti Beáta tanárnőtől Szilassi Lajos tanár úr közvetítésével jutott el hozzám a következő probléma:
Egy háromszög oldalainak hossza 4, 5. 6 egység. Milyen hosszú a leghosszabb oldallal szemközti csúcsra illeszkedő belső szögfelező szakasz?
A válaszom az volt, hogy a koszinusztétel és a szögfelező tétel alkalmazásával megmutatható (https://www.geogebra.org/m/apmwcmtx), hogy
(1).
Kiderült, hogy a feladatot tizedik osztályosoknak tűzték ki, így a koszinusztétel nem alkalmazható. És egy érdekesség is megállapítható:

Úgy tűnik, hogy - a fenti fájl jelöléseit használva - a egyenlőszárú.
Ez az eredmény sejteti, hogy léteznie kell egy elemi geometriai megoldásnak, de ezt - egyelőre - nem találtuk.
Egy tizedikesektől elvárható megoldás azért van. Ennek lényege, hogy az (1) összefüggést koszinusztétel helyett Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk meg:


A fenti számolást az alábbi GeoGebra CAS fájl végzi el.


Érdekes kérdés, hogy mikor egyenlőszárú a
. Ezt vizsgálja a következő GeoGebra CAS fájl, ami a korábbi jelöléseket használja.


A kiinduló problémában szereplő háromszög oldalai eleget tesznek az itt kapott feltételnek.
Egy négyzet két szomszédos csúcsára illeszkedő, a szemközti oldalt érintő kör

Forrás: ehazi.hu
Sejtés és segítség a bizonyításhoz

Számolás

Egy újabb probléma
Hányad része a négyzet területének a négyzetlap és a kör metszetének a területe?

Speciális háromszögek
-
1. Egy háromszögben ...
-
2. 2025. 34.
-
3. 2025. 35.
-
4. 2025. 36.
-
5. 2025. 37.
-
6. 2025. 113.
-
7. 2025. 130.
-
8. Paralelogramma kerülete
-
9. Kék feladatgyűjtemény 241.
-
10. Egy EFGH ...
-
11. Egy mértani helyes probléma
-
12. 2026. 56.
-
13. Az ABC ...
-
14. 2026. 73.
-
15. 2026. 84.
-
16. Hasonlóság 2.
-
17. Billiárd asztal
-
18. 2026. 152.
-
19. Szabályos háromszög négyzetben
Egy háromszögben ...
... a szokásos jelölésekkel AB=2, =60° és =15°. Milyen hosszú az AC oldal?
Forrás: gyakorikerdesek.hu
Kattintgass a "T" gombra!

Ilyen volt már:
Egy hasonló feladat másik speciális derékszögű háromszöggel
Egy háromszögbena szokásos jelölésekkel AB=2, =45° és =22,5°. Milyen hosszú az AC oldal?

Általában

Egyéb
-
1. Mekkora a keresett szög?
-
2. Osztópont
-
3. Mekkora a szög?
-
4. Két turistaház az őket ...
-
5. Egy háromszög magasságai:
-
6. Két vektor különbsége
-
7. 2025. 65.
-
8. 2025. 84.
-
9. 2025. 91.
-
10. 2025. 114.
-
11. B. 5374. Négyzet, rombusz
-
12. B. 5379. Ceva-tételes probléma
-
13. 2025. 129.
-
14. Hogy igazoljam?
-
15. 2025. 257.
-
16. Trapézos problémákhoz
-
17. Körhöz húzott szelő- és érintőszakaszok
-
18. Milyen háromszög?
-
19. Kék feladatgyűjtemény 463.
-
20. Z. 2.
-
21. Egy trapézos probléma
-
22. ABCD paralelogramma.
-
23. Érettségi vizsga feladat
-
24. 2026. 64.
-
25. 2026. 76.
-
26. 2026. 79.
-
27. 2026. 81.
-
28. 2026. 83.
-
29. 2026. 85.
-
30. Hasonlóság 1.
-
31. Hasonlóság 3.
-
32. Hasonlóság 6.
-
33. Hasonlóság 7.
-
34. Tejfölös doboz problémák
-
35. Kék feladatgyűjtemény 1182.
-
36. Trapéz szárait egyenlő arányban osztó pontokat összekötő szakasz
-
37. Kék feladatgyűjtemény 1195.
-
38. Kék feladatgyűjtemény 1065.
-
39. 2026. 97.
-
40. Háromszög szerkesztése
-
41. 2026. 125.
-
42. Egy húrnégyszöges probléma
Mekkora a keresett szög?

Forrás: gyakorikerdesek.hu
Keressünk sejtést!

Egy trigonometrikus bizonyítás

A fent említett oldalon született megoldás.
A szerző úgy gondolja, hogy kell lennie elemi geometriai bizonyítási módnak is, de - egyelőre - ilyen nem találtatott meg. Várjunk türelemmel!
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.