Elemi geometriai problémák

Tarcsay Tamás, Apr 24, 2023

Elemi geometriai problémák

Table of Contents

  1. Egybevágóság
    1. Egy KöMaL probléma
    2. 2025. 66.
  2. Háromszög köré írt kör
    1. Háromszög köré írt kör érintője
    2. Egy KöMaL probléma
    3. 2025. 40.
    4. 2025. 72.
  3. Háromszögbe írt kör
    1. Adjuk meg a hiányzó szögeket, ...
  4. Területszámítás
    1. Kata - Terület 2.
    2. Kata - Terület
    3. Mekkora a háromszög területe?
    4. A háromszög területe?
    5. 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?
    6. 2025. 120.
    7. 2025. 132.
    8. 2025. 133.
    9. 2025. 164.
    10. 2025. 165.
    11. 2025. 230.
    12. 2025. 281.
    13. Területek aránya
    14. 2025. 287.
  5. Szélsőérték problémák
    1. Minimális hosszúságú törötvonal
    2. Az ABC egyenlő oldalú háromszög ...
    3. Egy szögtartomány ...
    4. Mekkora az ...
    5. C. 1799.
    6. 2025. 73.
    7. 2025. 115.
  6. Szögfelező
    1. Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
    2. 2025. 74.
    3. 2025. 92.
    4. C. 1807. Párhuzamos?
    5. 2025. 126.
    6. 2025. 127.
  7. Érintő körök
    1. Egy négyzet két szomszédos csúcsára illeszkedő, a szemközti oldalt érintő kör
    2. Mekkorák ...
    3. Mekkorák ...
    4. 2025. 75.
    5. 2025. 128.
  8. Speciális háromszögek
    1. Egy háromszögben ...
    2. 2025. 34.
    3. 2025. 35.
    4. 2025. 36.
    5. 2025. 37.
    6. 2025. 113.
    7. 2025. 130.
    8. Paralelogramma kerülete
    9. Kék feladatgyűjtemény 241.
  9. Egyéb
    1. Mekkora a keresett szög?
    2. Osztópont
    3. Mekkora a szög?
    4. Két turistaház az őket ...
    5. Egy háromszög magasságai:
    6. Két vektor különbsége
    7. 2025. 65.
    8. 2025. 84.
    9. 2025. 91.
    10. 2025. 114.
    11. B. 5374. Négyzet, rombusz
    12. B. 5379. Ceva-tételes probléma
    13. 2025. 129.
    14. Hogy igazoljam?
    15. 2025. 257.
    16. Trapézos problémákhoz
    17. Körhöz húzott szelő- és érintőszakaszok
    18. Milyen háromszög?

1.

Egybevágóság

  • 1. Egy KöMaL probléma
  • 2. 2025. 66.

1.1.

Egy KöMaL probléma

Az [i]ABC[/i] szabályos háromszög [i]P[/i] belső pontjára [i]APB[/i]∢=150°. Milyen kapcsolat van a [i]PA, PB, PC [/i]szakaszok között?[br][right]Forrás: [url=https://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=202402&t=mat&l=hu]B.5369.[/url][/right]
– Tarcsay Tamás

1.2.

–

2.

Háromszög köré írt kör

  • 1. Háromszög köré írt kör érintője
  • 2. Egy KöMaL probléma
  • 3. 2025. 40.
  • 4. 2025. 72.

2.1.

Háromszög köré írt kör érintője

Adjuk meg az [i]ABC [/i]háromszög köré írt kör [i]A[/i] pontbeli érintőjének és a [i] BC[/i] oldal egyenesének szögét, ha a háromszög [i]B[/i]-nél és[i] C[/i]-nél levő szögei [i]β[/i] és [i]γ[/i]![br][right]Forrás: [url=https://ehazi.hu/q/127764/matematika-szamitsuk-ki-az-abc-haromszog-kore-irt-kor-a-pontbeli-erintojenek-es-a-bc-oldal-egyenesen]ehazi.hu[/url][br][/right][br][br]
Keressünk sejtést!
Bizonyítás
Megjegyzés
[br][list][url=http://lexikon.fazekas.hu/129.html][/url][*][url=http://lexikon.fazekas.hu/129.html]érintőszárú kerületi szög[/url][url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-6-osztaly/a-haromszog-belso-es-kulso-szogei/osszefuggesek-a-haromszog-belso-es-kulso-szogei-kozott][/url][/*][*][url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-6-osztaly/a-haromszog-belso-es-kulso-szogei/osszefuggesek-a-haromszog-belso-es-kulso-szogei-kozott]háromszög külső szöge[/url][/*][/list]
– Tarcsay Tamás

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Háromszögbe írt kör

  • 1. Adjuk meg a hiányzó szögeket, ...

3.1.

Adjuk meg a hiányzó szögeket, ...

... ha [i]I[/i] a háromszögbe írt kör középpontja![br][right]Forrás: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__12196114-az-alabbi-feladatot-hogy-kell-megoldani]Gyakori kérdések[/url][/right]
Kattintgass a "T" gombra!
– Tarcsay Tamás

4.

Területszámítás

  • 1. Kata - Terület 2.
  • 2. Kata - Terület
  • 3. Mekkora a háromszög területe?
  • 4. A háromszög területe?
  • 5. 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?
  • 6. 2025. 120.
  • 7. 2025. 132.
  • 8. 2025. 133.
  • 9. 2025. 164.
  • 10. 2025. 165.
  • 11. 2025. 230.
  • 12. 2025. 281.
  • 13. Területek aránya
  • 14. 2025. 287.

4.1.

Kata - Terület 2.

Ábra
Forrás: [url=https://www.geogebra.org/m/f96stueq]https://www.geogebra.org/m/f96stueq[/url]
Az ábrán látható kör illeszkedik az egységnyi oldalú szabályos háromszög egyik csúcsára, és érinti a szemközti oldalt. Adjuk meg az ábrán kék színnel jelölt síkidomok területeinek összegét!
Számolás:
– Tarcsay Tamás

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

5.

Szélsőérték problémák

  • 1. Minimális hosszúságú törötvonal
  • 2. Az ABC egyenlő oldalú háromszög ...
  • 3. Egy szögtartomány ...
  • 4. Mekkora az ...
  • 5. C. 1799.
  • 6. 2025. 73.
  • 7. 2025. 115.

5.1.

Minimális hosszúságú törötvonal

AZ [i]ABCD[/i] derékszögű trapézba írt [i]A...B[/i] törött-vonal, amelynek 2 pontja van [i]CD[/i]-n és 1 [i]AD[/i]-n mikor minimális?[br][right]Forrás: [url=https://www.quora.com/]Quora[/url][/right]
Keressünk minimális hosszúságú töröttvonalat!
Miért van ez így?
Vagy
Más megfogalmazásban:
Az [i]ABCD [/i]trapéz alakú billiárd asztalon az [i]A [/i]pontból merre lőjük a golyót, ha azt akarjuk, hogy sorban a [i]CD, AD,[/i] [i]CD[/i] oldalakon pattanva eljusson a [i]B[/i] pontba?
– Tarcsay Tamás

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

6.

Szögfelező

  • 1. Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
  • 2. 2025. 74.
  • 3. 2025. 92.
  • 4. C. 1807. Párhuzamos?
  • 5. 2025. 126.
  • 6. 2025. 127.

6.1.

Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.

[size=85][url=https://www.logisztika.bme.hu/hu/tanszekrol/alrt-munkatarsak.html]Csóti Beáta[/url] tanárnőtől [url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Szilassi Lajos[/url] tanár úr közvetítésével jutott el hozzám a következő probléma:[br][/size][size=85]Egy háromszög oldalainak hossza 4, 5. 6 egység. Milyen hosszú a leghosszabb oldallal szemközti csúcsra illeszkedő belső szögfelező szakasz?[br][/size][size=85]A válaszom az volt, hogy a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Koszinuszt%C3%A9tel]koszinusztétel[/url] és a [url=https://matekarcok.hu/szogfelezo-tetel/]szögfelező tétel[/url] alkalmazásával megmutatható [/size][size=85]([url=https://www.geogebra.org/m/apmwcmtx]https://www.geogebra.org/m/apmwcmtx[/url]), hogy[br][math]f_{\gamma}^2=\frac{ab\left\langle a+b-c\right\rangle\left\langle a+b+c\right\rangle}{\left\langle a+b\right\rangle^2}[/math][/size] [size=85](1)[/size].[br][size=85]Kiderült, hogy a feladatot tizedik osztályosoknak tűzték ki, így a [url=https://matekarcok.hu/koszinusztetel/]koszinusztétel[/url] nem alkalmazható[/size][size=85]. És egy érdekesség is megállapítható:[/size]
[size=85]Úgy tűnik, hogy - a fenti fájl jelöléseit használva - a [math]DBC_{\Delta}[/math][/size] [size=85]egyenlőszárú.[br][/size][size=85]Ez az eredmény sejteti, hogy léteznie kell egy elemi geometriai megoldásnak, de ezt - egyelőre - nem találtuk.[br][/size][size=85]Egy tizedikesektől elvárható megoldás azért van. Ennek lényege, hogy az (1) összefüggést koszinusztétel helyett Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk meg:[/size]
[size=85]A fenti számolást az alábbi GeoGebra CAS fájl végzi el.[/size]
[size=85]Érdekes kérdés, hogy mikor egyenlőszárú a [/size][img]data:image/png;base64,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[/img]. [size=85]Ezt vizsgálja a következő GeoGebra CAS fájl, ami a korábbi jelöléseket használja.[/size]
[size=85]A kiinduló problémában szereplő háromszög oldalai eleget tesznek az itt kapott feltételnek.[/size]
– Tarcsay Tamás

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

7.

Érintő körök

  • 1. Egy négyzet két szomszédos csúcsára illeszkedő, a szemközti oldalt érintő kör
  • 2. Mekkorák ...
  • 3. Mekkorák ...
  • 4. 2025. 75.
  • 5. 2025. 128.

7.1.

Egy négyzet két szomszédos csúcsára illeszkedő, a szemközti oldalt érintő kör

Forrás: [url=https://ehazi.hu/q/127790/matematika-csatoltam-kepet]ehazi.hu[/url]
Sejtés és segítség a bizonyításhoz
Számolás
Egy újabb probléma
Hányad része a négyzet területének a négyzetlap és a kör metszetének a területe?
– Tarcsay Tamás

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

8.

Speciális háromszögek

  • 1. Egy háromszögben ...
  • 2. 2025. 34.
  • 3. 2025. 35.
  • 4. 2025. 36.
  • 5. 2025. 37.
  • 6. 2025. 113.
  • 7. 2025. 130.
  • 8. Paralelogramma kerülete
  • 9. Kék feladatgyűjtemény 241.

8.1.

Egy háromszögben ...

... a szokásos jelölésekkel [i]AB[/i]=2, [math]\alpha[/math]=60° és [math]\beta[/math]=15°. Milyen hosszú az [i]AC[/i] oldal?[br][right]Forrás: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__12364120-mekkora-a-haromszog-oldala]gyakorikerdesek.hu[/url][/right]
Kattintgass a "T" gombra!
Ilyen volt már:
[url=https://www.geogebra.org/m/ddj8yjfv]https://www.geogebra.org/m/ddj8yjfv[/url]
Egy hasonló feladat másik speciális derékszögű háromszöggel
Egy háromszögbena szokásos jelölésekkel [i]AB[/i]=2, =45° és =22,5°. Milyen hosszú az [i]AC[/i] oldal?
Általában
– Tarcsay Tamás

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

8.8.

–

8.9.

–

9.

Egyéb

  • 1. Mekkora a keresett szög?
  • 2. Osztópont
  • 3. Mekkora a szög?
  • 4. Két turistaház az őket ...
  • 5. Egy háromszög magasságai:
  • 6. Két vektor különbsége
  • 7. 2025. 65.
  • 8. 2025. 84.
  • 9. 2025. 91.
  • 10. 2025. 114.
  • 11. B. 5374. Négyzet, rombusz
  • 12. B. 5379. Ceva-tételes probléma
  • 13. 2025. 129.
  • 14. Hogy igazoljam?
  • 15. 2025. 257.
  • 16. Trapézos problémákhoz
  • 17. Körhöz húzott szelő- és érintőszakaszok
  • 18. Milyen háromszög?

9.1.

Mekkora a keresett szög?

[right]Forrás: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__12369260-matematika-ennek-mi-a-megoldasa]gyakorikerdesek.hu[/url][br][/right]
Keressünk sejtést!
Egy trigonometrikus bizonyítás
A fent említett oldalon született megoldás.
A szerző úgy gondolja, hogy kell lennie elemi geometriai bizonyítási módnak is, de - egyelőre - ilyen nem találtatott meg. Várjunk türelemmel!
– Tarcsay Tamás

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

9.7.

–

9.8.

–

9.9.

–

9.10.

–

9.11.

–

9.12.

–

9.13.

–

9.14.

–

9.15.

–

9.16.

–

9.17.

–

9.18.

–

Information