Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_{0} [/math] pontjában, ha tetszőleges [math]ε > 0 [/math] -hoz létezik olyan [math]δ > 0[/math], melyre ha [math]|x-x_0|<δ[/math], akkor [math]|f (x) - f (x_{0})|< ε [/math].[br]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.[br]Adott az [math]f (x) = \frac{x^{2}- 4}{x - 2}[/math], [math]x[/math] ∈ [math]R\backslash\left\{2\right\}[/math] függvény.[br]Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.

Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!

Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 1-re! [br]Határozd meg [math]x_0[/math] azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb ε-nal térnek el [math]f(x_0)[/math]-tól![br]Állítsd be [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]δ[/math] értékeket!

Tudsz-e tetszőleges [math]ε[/math]-hoz [math]δ[/math]-t adni? [br]Folytonos-e ebben a pontban a függvény?[br][br]

Változtasd [math]x_0[/math] értékét! Mit tapasztalsz? [br]

Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 2-re! Mit mondhatsz itt a függvényről?[br]

Folytonos-e az [math]f[/math] függvény ezek után?[br]

Milyen értéket kell rendelnünk az [math]x=[/math]2-höz, ha a függvény értelmezési tartományát ki akarjuk terjeszteni úgy, hogy továbbra is folytonos maradjon?

A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]