A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Ez a tananyagegység-lánc olyan gondolkodtató, kihívást jelentő matematikai feladatokat tartalmaz, amelyeknek a megoldása hagyományos módszerekkel nem mindig könnyű. Programunkkal kísérletezve azonban kialakulhat az a sejtés, amely a feladat megoldásához vezet, a használt szoftver az indoklás, és az elemzés megfogalmazásában is segíthet.
Table of Contents
- Bevezető
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás 1-2. osztály
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás 3-4. osztály
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás 5-6. osztály
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás 7-8. osztály
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás 9-10. osztály
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás 11-12. osztály
- A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Ez a feladatcsoport olyan gondolkodtató, kihívást jelentő matematikai feladatokat tartalmaz, amelyeknek a megoldása hagyományos módszerekkel nem mindig könnyű. Programunkkal kísérletezve azonban kialakulhat az a sejtés, amely a feladat megoldásához vezet, a használt szoftver az indoklás megfogalmazásában, és az elemzés során a diszkusszióban is segíthet. [br][br]Nem egyszerű feladat a megoldások folyamatának leírása, az indoklás. Ezért találtuk ki a felső tagozatosoknak és a középiskolásoknak a krónikát. Így kértük:[br][br]Válasszatok magatok közül krónikást![br]Egy csapattag írja le, hogyan zajlott a feladatmegoldás.[br]Például: „Először A azt javasolta, hogy… Megpróbáltuk, de nem[br]vezetett eredményre. Ezért B javaslatára a következőkkel próbálkoztunk:... És így tovább.”[br]Írjátok le, melyik feladat megoldása ment könnyen, melyik okozott[br]nehézséget, véleményetek szerint miért![br]Melyiket tartottátok érdekesnek, újszerűnek, unalmasnak vagy nehéznek?[br]Volt-e olyan ötletetek, amelyet szerettetek volna megvalósítani, de ezzel a programmal nem sikerült?[br][br]A megoldásra kapott pontszámokba a krónikát is beleszámítjuk.
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Ebben a tananyagegységben Négyzetországba látogatunk.[br]Négyzetországban a házak és a kertek alaprajza négyzet, vagy négyzetekből rakható ki.[br]Négy testvér a rajzon látható telket örökölte. A négy színes négyzet a házakat jelöli .
1. feladat
Segíts a testvéreknek felosztani a telket ugyanolyan nagyságú és alakú részekre úgy, hogy minden telekre egy ház kerüljön![br]Rajzold le az ábrát, majd színessel rajzold be a kerítéseket! Segítségül kapcsold be a rajzlapra a rácsot!
2. feladat
Változtasd meg a feladatot![br]Helyezd el a négy házat máshova ugyanezen a területen, majd végezd el a felosztást úgy is![br]Keress megoldható és nem megoldható elrendezéseket!
3. feladat
Az egyik házba Négyzet Nándorék költöznek.[br]Lakásuk három helyiségét négyzet alakú járólapokkal szeretnék burkolni. Nándor úgy gondolja, hogy egyféle lapot vásárol, de abból sokat. [br]Tervezz neki egy olyan mintás, színes lapot, amellyel többféle mintát rakhat ki, ha különbözőképpen illeszti azokat össze. Így nem lesz unalmas a lakása. [br][br]Minden helyiség „kövezését” mutasd meg neki. Rakj le annyi lapot, hogy már érthető legyen Nándornak, hogyan kell folytatnia. Ha elkészült egy szép minta, másolással és tükrözéssel „kövezz”!
Mutatunk egy példát
Egy négyzet alakú burkolólapot és három lehetséges mintát, amelyet ebből a lapból raktunk ki.
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Abban a városban, amelyikben laksz, az utcák egymásra merőlegesen lettek kiépítve. [br]A település térképét és az utcák elnevezését az ábrán láthatod.
1. feladat
Reggel elindulsz a [i]2[/i]. és a [i]B[/i] utca sarkán álló házatokból a [i]2.[/i] és a [i]G[/i] utca sarkán álló[br]iskolába. Délután – mivel betelt a füzeted – először elmész az áruházba,[br]azután hazafelé indulsz.[br]Milyen útvonalat fogsz megtenni reggel és délután, ha mindkét alkalommal a lehető legrövidebb utat választod?[br]Mindkét esetben gondold végig, hogy van-e többféle legrövidebb út? Ha igen, számold meg, hogy az iskola és az áruház között hány legrövidebb út van?
2. feladat
Az egyik barátod a [i]7.[/i] és az [i]E[/i] utca sarkán lakik.[br]Találkozni szeretnél vele, de ragaszkodtok ahhoz, hogy mindketten egyenlő utat tegyetek meg a találkozásig.[br]Jelölj meg néhány lehetséges találkozási pontot!
3. feladat
Hol találkozhattok, ha a barátod elköltözött [i]a 6. [/i]és az[i] F [/i]utca sarkára?
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Biztosan láttál már kondenzcsíkot. Ha feltekintesz az égboltra, sokáig[br]láthatod, merre haladt a repülőgép.[br]Az általunk használt programban is van egy hasonló jellemzőjük a mozgó[br]alakzatoknak, ez a nyomvonal. Ha bekapcsolod, követheted a mozgó pont[br]pályáját.[br]Végezd el a szükséges szerkesztéseket, majd a kapott nyomvonal segítségével magyarázd meg a kapott eredményt!
1. feladat
Egy szög egyik szárán mozog egy [i]P[/i] pont. A szög csúcsát jelölje [i]O[/i].[br]A [i]P[/i] ponton keresztül húzz párhuzamost a másik szárral, és mérd rá [i]P[/i]-ből kiindulva az [i]OP[/i] távolságot, azaz a mozgó pontnak a szög csúcsától mért pillanatnyi[br]távolságát![br]Milyen alakzatot írnak le az így kapott végpontok? Miért?
2. feladat
Tűzz ki egy egyenest és rajta kívül egy [i]O[/i] pontot! Fussa be a [i]P[/i] az egyenes összes pontját, és szerkeszd meg az összes, azonos körüljárású [i]POQ[/i] egyenlő oldalú háromszöget![br]Milyen alakzatot futnak be a [i]Q[/i] pontok? Miért?
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Biztosan láttál már kondenzcsíkot. Ha feltekintesz az égboltra, sokáig[br]láthatod, merre haladt a repülőgép.[br]Az általunk használt programban is van egy hasonló jellemzőjük a mozgó[br]alakzatoknak, ez a nyomvonal. Ha bekapcsolod, követheted a mozgó pont[br]pályáját.[br]Végezd el a szükséges szerkesztéseket, majd a kapott nyomvonal segítségével magyarázd meg a kapott eredményt!
1. feladat
Tűzz ki egy körön két pontot, [i]A[/i]-t és [i]B[/i]-t! Vegyél fel a körön egy további pontot, [i]X[/i]-et, amely befutja a kört![br]Szerkeszd meg minden helyzetben azt az [i]Y[/i] pontot, amellyel az [i]Y[/i] az [i]AXBY[/i] paralelogrammában az [i]X[/i]-szel szemközti csúcs lesz![br]Milyen alakzatot fut be az [i]Y[/i] pont? Miért?
2. feladat
Mozgass egy kört úgy, hogy a középpontja egy kört írjon le, és minden helyzetében szerkessz hozzá adott irányú érintőket![br]Milyen alakzatot írnak le az érintési pontok? Miért?
3. feladat
Tűzz ki egy pontot és egy egyenest! Forgass a pont körül egy rajta átmenő kört, és minden helyzetében szerkeszd meg a körnek az egyenessel párhuzamos érintőit![br]Milyen alakzatot írnak le az érintési pontok? Miért?
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
Hogyan segíti az általunk használt program a geometriai feladatok diszkusszióját (elemzését)?[br]Ha megoldod a három feladatot, erre a kérdésre is választ kapsz.
1. feladat
Adott egy [i]4[/i] és egy [i]3[/i] egység sugarú kör. Szerkessz olyan [i]1[/i] egység sugarú kört, vagy köröket, amely vagy amelyek mindkét adott kört érintik! [br]Hogyan változik a megoldások száma, ha a két adott kör középpontjának távolságát változtatjuk?[br]Elemezd részletesen a feladatot a megoldások száma szerint!
2. feladat
Bizonyítsd be, hogy egy négyzet két szemközti oldala közé eső tetszés szerinti szakasz ugyanakkora, mint a rá bárhol emelt merőlegesnek a másik két oldalegyenes közé eső szakasza!
3. feladat
Szerkessz négyzetet, ha adott mind a négy oldalegyenesének egy-egy pontja! A 2. feladat megoldása segít a szerkesztésben.[br]Hogyan függ a megoldások száma a négy adott pont helyzetétől?
A felfedezés öröme, a problémamegoldó gondolkodás
A következő paraméteres függvényre vonatkozó kérdések megválaszolásához a[br]program csúszkájára nagy szükséged van. [br][br]Ábrázold a valós számok lehető legbővebb részhalmazán értelmezett [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x-p\right)^2}{x^2+x+p^2}[/math][math] [/math]függvényt, ahol [i]p[/i] valós paraméter, [i]p [math]\in [/math][/i][-5; 8]. Különböző [i]p[/i] értékekre lényegesen különböző függvényt is kaphatunk.[br]A lényegesen különböző alatt most azt értjük, hogy más-más [i]p[/i] értékre a függvény különbözhet folytonosság, szakadási helyek száma, korlátosság, monotonitás, paritás szempontjából. [br][br]A függvény ábrázolása alapján fogalmazz meg sejtéseket, majd bizonyítsd be ezeket az alábbi három feladatban!
1. feladat
Jellemezd az így kapott, lényegesen különböző függvényeket!
2. feladat
Határozd meg, hogy a [i]p [/i]paraméter mely értékeire korlátos a függvény![br]Mekkora ezekben az esetekben a függvény minimuma illetve maximuma?
3. feladat
Mekkora a maximum legkisebb lehetséges értéke, és ez a paraméter milyen értéke mellett valósul meg?