Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes.[br]Leur point d'intersection est à égale distance des trois côtés du triangle et est le centre d'un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.[br][br]Soit ([math]c_1[/math]), ([math]c_2[/math]) et ([math]c_3[/math]) les trois cercles exinscrits au triangle ABC. Notons [math]T_A[/math], [math]T_B[/math] et [math]T_B[/math] leurs centres.[br]Notons [math]u_A[/math] le point de contact de ([math]c_1[/math]) avec [BC], [math]u_B[/math] le point de contact de ([math]c_2[/math]) avec [AC] et [math]u_C[/math] le point de contact de ([math]c_3[/math]) avec [AB].[br][br]Les céviennes ([math]Au_A[/math]), ([math]Bu_B[/math]) et ([math]Cu_C[/math]) sont concourantes au point de Nagel [math]N_a[/math].[br][br]

La droite de Nagel est la droite (IG).[br]Le point de Nagel est [math]N_a[/math] sur cette droite et on a [math]IN_a=3IG[/math].[br]Le centre de Spieker ([math]S_p[/math], X(10)) est aussi sur cette droite.[br][br]Le triangle de Nagel [math]u_Au_Bu_C[/math] a pour sommets les points de contact [math]u_A,u_B,u_C[/math][right]en : extouch triangle[/right]L'ellipse de  Mandart, inscrite dans le triangle est tangente aux côtés aux trois points de contact.[br]Elle est centrée au [url=https://tube.geogebra.org/m/bbTSxkxH]MittenPunkt[/url].[br][br]Le cercle circonscrit au triangle de Nagel est le cercle de Mandart.[br][br][br][i]Commande GeoGebra[/i][br]Le point de Nagel est le point X(8) de ETC (encyclopédie des points du triangle).[br]On le trouve avec l’instruction N = TriangleCentre[A,B,C,8][br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/triangle-point-caract.mobile.html#nagel]Points caractéristiques du triangle[/url][br][url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/triangle_orthique.html#ch3]Théorème de Nagel[/url]