Niech [math]a=x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n}=b[/math]. Uporządkowany w ten sposób zbiór [math]P_n =\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\}\subset [a,b][/math] nazywamy [color=#cc0000]podziałem przedziału[/color] [math][a,b][/math]. Jeżeli długość przedziału [math][x_{k-1},x_{k}][/math] oznaczymy symbolem [math]\Delta x_k[/math], to [math]\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}[/math] dla [math]k=1,\ldots ,n[/math]. Największą z liczb [math]\Delta x_k[/math] nazywamy [color=#cc0000]średnicą[/color] rozważanego [color=#cc0000]podziału [/color]i oznaczamy przez [math]\delta_n[/math], tzn. [math]\delta_n=\limits\max_{k\in \{1, \ldots, n \} }\Delta {x_k}[/math]. Mówimy, że ciąg podziałów [math](P_n)[/math] przedziału [math][a,b][/math] jest [color=#cc0000]ciągiem normalnym podziałów[/color] , gdy [math]\lim\limits_{n\to\infty}\delta_{n}=0[/math].

Niech funkcja [math]f[/math] będzie określona i ograniczona w przedziale [math][a,b][/math] i niech [math]P_n[/math] będzie podziałem przedziału [math][a,b][/math], [math]P_n =\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\}\subset [a,b][/math]. Niech ponadto dane będą punkty pośrednie [math]\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}[/math] takie, że [math]\xi_k\in[x_{k-1},x_k][/math] dla [math]k=1,2,\ldots , n[/math]. [color=#cc0000]Sumą całkową (sumą Riemanna)[/color] funkcji [math]f[/math] dla podziału [math]P_n[/math] i dla wybranych punktów pośrednich nazywamy [br][center][math]S_n=\limits\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta {x_k}[/math].[/center][br]Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [math][a,b][/math] istnieje ta sama skończona granica ciągu [math](S_n)[/math] i nie zależy ona od wyboru punktów pośrednich [math]\xi_k[/math] , to nazywamy ją [color=#cc0000]całką oznaczoną Riemanna[/color] funkcji [math]f[/math] na przedziale [math][a,b][/math] i oznaczamy przez [br][center][math]\int\limits_{a}^{b}f(x) \,dx[/math][/center]

Korzystając z powyższego apletu wylosuj kilka nowych punktów podziału przedziału [math][a,b][/math] oraz punktów pośrednich dla rozważanej funkcji [math]f[/math]. Zaobserwuj jak zmieniają się wartości sum całkowych [math]S_n[/math] w zależności od podziałów oraz w zależności od [math]n[/math]. Otrzymane wyniki możesz porównać z przybliżoną wartością całki na tym przedziale (klikając na symbol całki).