Α΄ Λυκείου - Γεωμετρία
Ψηφιακά δομήματα για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α΄ Λυκείου
Table of Contents
- Διχοτόμος γωνίας
- Περίκεντρο τριγώνου
- Πλήθος κύκλων από 2 ή 3 ή 4 σημεία
- Κάθετα και πλάγια τμήματα
- Μεγιστοποίηση εμβαδού
- Κύκλος
- Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου
- Κ.2 Εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο
- K.2.1 Δραστηριότητες
- Κ.3 Σχετικές θέσεις δύο κύκλων
- Κ.3.1 Δραστηριότητα Ι (μέγιστες - ελάχιστες αποστάσεις)
- Κ.3.2 Δραστηριότητα II (μέγιστες - ελάχιστες αποστάσεις)
- Γεωμετρικές Κατασκευές
- Γενικά
- Κατασκευή γωνίας ίσης με δεδομένη γωνία
- Κατασκευή τριγώνου από δύο πλευρές και την περιεχόμενη αυτών γωνία
- Kατασκευή τριγώνου από μία πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες στην πλευρά
- Κατασκευή τριγώνου από τις τρεις πλευρές του
- Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου
- Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
- Εγγεγραμμένος & παραγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
- Δραστηριότητα : το πρόβλημα του αρχιτέκτονα
- Πλήθος κύκλων από 2 ή 3 ή 4 σημεία
- Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
- Βασικές κατασκευές
- Ορισμοί - Γεωμετρικές κατασκευές
- Δραστηριότητα 2 (κεφ. 5 βιβλίου γεωμετρίας)
- Ερώτηση κατανόησης 1, σελ. 108
- Ερώτηση κατανόησης , σελίδα 115 σχ. βιβλίου
- Κατασκευή γέφυρας
- Μέσα πλευρών τετραπλεύρου
Πλήθος κύκλων από 2 ή 3 ή 4 σημεία
Εισαγωγή
Στη δραστηριότητα εξετάζουμε [b]το πλήθος των κύκλων[/b] που διέρχονται από 2 ή 3 ή 4 σημεία του επιπέδου.[br]Σκοπός μας είναι να διαπιστώσουμε τις συνθήκες ώστε να συμβαίνει το προηγούμενο για κάθε περίπτωση.[br][br]Δείτε τα 4 στάδια εργασιών που ακολουθούν.
Ερωτήσεις - Στάδια εργασιών
[br][br][b][u][color=#1e84cc]1[sup]Η[/sup] ΕΡΓΑΣΙΑ[/color][/u][/b][br][br][br]Έστω τα σημεία Α και Β και ένας κύκλος (C). Ο κύκλος μεταβάλλεται από το κέντρο[br]του Κ και τη λαβή Μ. [br][br][br]1. [br]Μετακινήστε κατάλληλα τον κύκλο ώστε να διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Επαναλάβατε το πείραμα, μετακινώντας το κέντρο Κ και ξανά τα σημεία Α και Β. Κάθε φορά που ο κύκλος διέρχεται από τα Α και Β, ανοίξτε και κλείστε το ίχνος του Κ. [br][br][br]2. [br]Τί παρατηρείτε για τα ίχνη του κέντρου Κ που έχετε σημειώσει;[br][br][br]3. [br]Που εικάζετε ότι βρίσκονται τα κέντρα Κ;Αποδείξτε τους ισχυρισμούς σας. [br][br][br]4. [br]Με βάση τα ευρήματά σας, «πόσοι κύκλοι διέρχονται από δύο σημεία Α και Β»;[br][br][br] [br][b][u][color=#1e84cc]2[sup]Η[/sup] ΕΡΓΑΣΙΑ[/color][/u][/b][br][br][br]Έστω τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. [br][br][br]1. [br]Με τα εργαλεία που έχετε διαθέσιμα, να κατασκευάσετε ένα σημείο που να ισαπέχει από τα σημεία Α και Β και, ένα σημείο που να ισαπέχει από τα Β και Γ. [br][br][br]2. [br]Υπάρχει σημείο που να ισαπέχει ταυτόχρονα και από τα τρία σημεία Α, Β και Γ; Να αιτιολογήστε την απάντησή σας. [br][br][br]3. [br]Υπάρχει κύκλος που να διέρχεται και τα τρία σημεία Α, Β και Γ;[br][br][br]4. [br]Επαναλάβατε το πείραμα με διάφορα είδη τριγώνων.[br][br][br][br]5. [br]Εξετάστε ιδιαίτερα τις περιπτώσεις ορθογώνιου και αμβλυγώνιου τριγώνου. Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το πλήθος των κύκλων που διέρχονται από 3 μη συνευθειακά σημεία;[br][br][br] [br][br][br][b][u][color=#1e84cc]3[sup]Η[/sup] ΕΡΓΑΣΙΑ[/color][/u][/b][br][br][br]Στο σχήμα δίνονται τα σημεία Α,Β, Γ και Δ και ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Α,Β και Γ. [br][br][br]1. [br] Τοποθετήστε το σημείο Δ στον κύκλο. Τι παρατηρείτε για το άθροισμα των γωνιών Β και Δ;[br][br][br]2. [br]Επαναλάβετε το πείραμα με διάφορα τυχαία τετράπλευρα. Διατυπώστε μια εικασία σχετικά με το άθροισμα των γωνιών Β και Δ, όταν τα σημεία Α,Β, Γ και Δ, ανήκουν στον κύκλο.[br][br][br]3. [br]Εξετάστε τις ειδικές περιπτώσεις τετραπλεύρων: παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο, τραπέζιο, ισοσκελές τραπέζιο. Σε ποια συμπεράσματα καταλήγετε;[br][br][br][b][u][color=#1e84cc]4[sup]Η[/sup] ΕΡΓΑΣΙΑ[/color][/u][/b][br]Με τα προσφερόμενα εργαλεία να κατασκευάσετε το κέντρο του κύκλου.
Μεγιστοποίηση εμβαδού
Πού πρέπει να τοποθετηθεί ο προβολέας;
Έχουμε έναν προβολέα στο σημείο Γ, με "άνοιγμα" 90[sup]0 [/sup]της φωτεινής δέσμης που εκπέμπει [sup] [/sup]. Ο προβολέας θα φωτίζει τη σκηνή ΑΒ και θα τοποθετηθεί σε κάποιο σημείο του ημικυκλίου διαμέτρου ΑΒ.[br][b][i][br]Πρόβλημα: Πού θα πρέπει να τοποθετήσουμε τον προβολέα ώστε να φωτίζει τη μέγιστη δυνατή επιφάνεια έως τη σκηνή ΑΒ;[/i][/b][br]
Οδηγίες
Στη δραστηριότητα -όπως είναι φανερό-, εξετάζουμε το εξής πρόβλημα:[br][color=#1e84cc]"από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε ημικύκλιο, ποιο έχει το [b]μέγιστο εμβαδόν[/b]"[/color][i].[br][br][/i]Στο δόμημα εμφανίζεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και ένα τυχαίο σημείο Γ σε αυτό. [br][list][*]Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Γ.[/*][*]Εκφράστε συντακτικά τον τύπο που περιγράφει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, χρησιμοποιώντας το ύψος υ.[/*][/list]Πατήστε "Εμφάνισε Ρ" για να εμφανιστεί το σημείο Ρ. [br]Στο 2ο παράθυρο, εμφανίζεται η γραμμή που διαγράφει ένα σημείο Ρ. Αυτή η γραμμή, περιγράφει [u]τη μεταβολή του εμβαδού Ε του τριγώνου ΑΒΓ σε σχέση με το ύψος του υ. [/u][br][list][*]Tί είδους γραμμή διαγράφει το σημείο Ρ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας; [/*][*]Από τη μορφή της γραμμής τού σημείου Ρ, μπορείτε να διατυπώσετε κάποια εικασία για το ερώτημα του προβλήματος;[/*][*]Επαληθεύστε με τo κουμπί "max" την εικασία σας.[/*][*]Να αιτιολογήσετε γεωμετρικά την εικασία σας;[/*][/list]
[b][color=#1e84cc]Επέκταση δραστηριότητας[/color][/b][br][br]Μεταβάλετε την ακτίνα R του ημικυκλίου. [br][list][*]Τί γραμμή φαίνεται τώρα να διαγράφει το σημείο Ρ;[br][/*][*]Μπορεί να αιτιολογηθεί αυτό;[/*][/list][i][size=85]Πατήστε στην εφαρμογή το σημείο Ο, για να πάρετε μια βοήθεια αν χρειαστεί. [/size][/i]
Απάντηση:
Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου
Οδηγίες
[list][*]Στη δραστηριότητα εξετάζουμε τις σχετικές θέσεις [b]μιας ευθείας και ενός κύκλου. [/b][/*][*]Σκοπός της δραστηριότητας είναι να καταλήξουμε σε συμπεράσματα σχετικά με τις [b]συνθήκες [/b]που πρέπει να ισχύουν σε κάθε σχετική θέση. [/*][/list]
με μια ματιά...
Οδηγίες
Στην επόμενη δραστηριότητα, πρέπει να προτείνετε μια διαδικασία, ώστε η τέμνουσα ευθεία ΑΒ του κύκλου , να πάρει τη θέση της εφαπτομένης στο σημείο Τ.
Οδηγίες
Εξετάστε αν η διαδικασία που προτείνατε στον προηγούμενο πειραματισμό, μπορεί να λειτουργήσει και στην περίπτωση όπου θέλουμε να ορίσουμε την εφαπτομένη στο σημείο Τ μίας τυχαίας καμπύλης C, μετακινώντας το σημείο Ρ.[br][br]Αν διαπιστώσετε ότι αυτό είναι δυνατό, να εντοπίσετε πιθανές διαφορές με την περίπτωση τής εφαπτομένης σε σημείο ενός κύκλου. [br]
Εφαπτομένη κύκλου
Όταν η ευθεία (ε) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο, θα καλείται [b]εφαπτομένη [/b]του κύκλου και το σημείο D θα καλείται [b]σημείο επαφής[/b]. [br][br][b][color=#1e84cc]Συμπεράσματα:[/color][/b][br][list][*]Η ακτίνα του κύκλου στο σημείο επαφής D, είναι κάθετη στην εφαπτομένη[/*][*]Σε κάθε σημείο του κύκλου, υπάρχει μία και μόνο εφαπτομένη ευθεία. [/*][/list]
Γενικά
Γενικά
Μία κατασκευή ενός σχήματος, θα λέγεται "Ευκλείδεια", όταν έχει πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη. Έτσι για παράδειγμα, η επίλυση του προβλήματος της "[b]Χρυσής Τομής[/b]" είναι Ευκλείδεια, όμως, "[b]O Tετραγωνισμός του Kύκλου[/b]" δεν είναι. [br][br]Στα επόμενα, δίνονται ψηφιακά δομήματα, τα οποία περιέχουν ορισμένα εργαλεία, τα οποία υποκαθιστούν το χάρακα και το διαβήτη. [br]Χρησιμοποιώντας αυτά τα εργαλεία, καθώς και τις οδηγίες που αναφέρονται σε κάθε δόμημα, θα πρέπει να κατασκευάσετε το ζητούμενο σχήμα.[br]Στο τέλος, μέσω του πειραματισμού σας, θα πρέπει να καταλήγετε σε συμπέρασμα σχετικά με το "αν η κατασκευή είναι πάντα εφικτή."[br][br][color=#1e84cc][i]Σημείωση[/i][/color]: [i]Οι γεωμετρικές κατασκευές καθώς και οι γεωμετρικοί τόποι, αποτελούν την πεμπτουσία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.[/i]
Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
Εισαγωγή - Οδηγίες
Η ακόλουθη δραστηριότητα συνοδεύεται από φύλλο εργασίας στο οποίο περιγράφεται βήμα προς βήμα η χρήση της.[br][b][u]Βασικές οδηγίες για το σκέλος επίλυσης του προβλήματος :[/u][/b][br][list][*]Στην επίλυση του προβλήματος, αφού σύρετε με το ποντίκι το σημείο "Υδραγωγείο" περίπου στη θέση που θέλετε, χρησιμοποιείστε τα πλήκτρα με τα βελάκια του πληκτρολογίου για να το τοποθετήσετε ακριβώς εκεί που θέλετε.[br][i][color=#0000ff]Έχοντας πατημένο το "Shift" και με τα βελάκια πετυχαίνετε μικρότερη μετακίνηση.[/color][/i][br][i][u]Όταν το σημείο τοποθετηθεί σωστά γίνεται πράσινο.[/u][/i][/*][*]Με τα κουμπιά ZoomIn και ZoomOut μπορείτε να μεγενθύνετε την περιοχή του σημείου με τίτλο "Υδραγωγείο" για καλύτερη παρατήρηση.[/*][*]Με τα κουμπιά "+" , "-" φέρουμε το σημείο "Υδραγωγείο" μπροστά ή πίσω σε σχέση με τα υπόλοιπα σημεία - γραμμές.[/*][/list]
Φύλλο εργασίας για τη δραστηριότητα
Βασικές κατασκευές
Στην επόμενη δραστηριότητα, ζητείται με την αξιοποίηση του πλέγματος, να κατασκευαστούν:[list][*]παραλληλόγραμμο[/*][*]ορθογώνιο[/*][*]ρόμβος[/*][*]τετράγωνο[/*][/list]Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των προσφερόμενων εργαλείων, ζητείται να βρεθεί το κέντρο συμμετρίας ενός τυχαίου παραλληλογράμμου. [br][br][size=85][i]Σημειώνουμε ότι η αξιοποίηση του πλέγματος στις κατασκευές, εμπεριέχει στοιχεία [b]Ευκλείδειων κατασκευών[/b]. Δηλαδή κατασκευών με χάρακα και διαβήτη. [/i][/size]