Általánosítsuk még tovább az[url=https://www.geogebra.org/m/vrZzYJBw] előző feladatot[/url]! [br][br]Legyen egy adott [i] e[/i] egyenesen mozgó [i]O[/i] ,[i] E[/i] és [i]T[sub]0[/sub][/i] pont! Legyen [i]T[sub]1[/sub] [/i]az[u] e[/u] egyenesnek az a pontja, amelyre [i]OE=T[sub]0[/sub]T[sub]1[/sub]=1[/i] egységnyi. Az irányításuk is legyen azonos! Végezzük el az iménti kettős tükrözést a H sík egy tetszőleges P pontjára! [br]Miként függ a kapott P'' pont az [i]O, E[/i] és [i]T[sub]0[/sub][/i] pontok megválasztásától?

Ebben a feladatban az O, E és T[sub]0 [/sub]pontoknak az [i]e[/i] H-Egyenesre - vagyis a rajzlapon körívre - kellene illesztenünk. [br][br]A GeoGebra a körívre illesztett pontokat a körív végpontjaihoz viszonyított helyzetében tartja számon. Ezért, egy H-egyenesre illesztett pont esetleg "ugrik" ha mozgatjuk a bázispontjait. Például az alábbi GeoGebra fájlban próbáljuk fel-le mozgatni az A és B pontok egyikét. (A [i]P[/i] pontot a [b]P=Pont(c)[/b] paranccsal adtuk meg, ahol v=HEgyenes(A,B). )[br]

A fenti nem kívánatos jelenséget azzal tudjuk kiküszöbölni, hogy felvesszük a P-modell alapkörének egyik félkörét az [b]s=Félkör[(10,0), (-10,0)] [/b]paranccsal, majd ezen vesszük fel a feladatunk[i] e [/i] egyeneséhez szükséges végtelen távoli - bázispontokat. Pl. az[b] A=Pont(s) [/b]paranccsal. Ezzel lényegében semennyit nem sérül a feladatunk dinamikus jellege, sem az általánossága.[br][br] A szerkesztés többi részét feltehetően nem szükséges elemeznünk. [br][br] Amint az várható volt, a P'' pont helye nem függ a - mozgatható - T[sub]0[/sub] pont megválasztásától. Viszont az [i]OE[/i] H-Szakasztól igen. A[i] P[/i]" pont által leírt vonalat pl. a[b] p=Mértanihely[P'',E] [/b]paranccsal tudjuk előállítani.[br][br] Szerkesszük meg a [i]P [/i]pontnak az [i]e[/i] -re eső merőleges vetületét [i]T[/i]-t. majd ebből ugyanazokkal a tükrözésekkel T'-t és T''-t. Mivel Az [i]e[/i] egyenesnek bármely [i]e[/i]-re merőleges egyenesre vonatkozó tükörképe önmaga, igy a [i]PT , P'T[/i]' és [i]P''T[/i]'' szakaszok egybevágók. Ebből adódóan a [i] P[/i]" mértani helyeként kapott [i]p[/i] alakzatnak minden pontja [i]PT[/i]-vel egyenlő távolságra van az [i]e[/i] H-egyenestől. Ezt a p alakzatot az [i]e[/i] egyeneshez és a[i] P[/i] ponthoz tartozó [i]távolságvonal[/i]nak -[i]hiperciklus[/i]nak nevezzük.[br][br]Magát a P → P'' hozzárendelést az [i]e egyenes menti eltolás[/i]nak nevezzük, amelynek az iránya OE mértéke 2OE. Ha a[i] P[/i] pont illeszkedik az [i]e[/i] egyenesre, akkor valóban PP'' =2OE =2T[sub]0[/sub]T[sub]1[/sub] de ha P nem illeszkedik e-re, akkor ez nincs így, ellentétben az euklideszi geometriából megszokott tulajdonsággal.