La Parabola
Un percorso per introdurre l'equazione della parabola
Table of Contents
- y = x^2
- Proprietà della funzione y = x^2
- Prime definizioni
- y = a x^2
- Grafico della funzione y = a x^2
- Equazione della parabola passante per un punto assegnato
- Indovina l'equazione della parabola
- y = ax^2 + k
- y = ax^2 + k
- Esercitazione
- Dall'equazione al grafico
- y = a(x+h)^2 + k
- y=a(x+h)^2 + k
- Equazione della parabola noto il vertice e un suo punto
- L'equazione della parabola in forma esplicita
- Dall'equazione al grafico
- La parabola come luogo geometrico
- La parabola con la carta piegata
- Dalla carta piegata a Geogebra
- Il fuoco non appartiene all'asse y e la direttrice è equidistante dal fuoco rispetto all'asse x
- Il fuoco non appartiene all'asse y e fuoco e direttrice non sono simmetrici rispetto all'asse x
Proprietà della funzione y = x^2
Traccia il grafico della funzione y = x[sup]2[/sup]
Fai variare un punto P sul grafico ottenuto, osserva come variano le sue coordinate e deduci:
Qual è il suo dominio?
Qual è il codominio?
Qual è il valore più piccolo che assume l'ordinata del punto P?
In quali quadranti si trova il grafico?
Qual è il suo punto di ordinata minima?
Grafico della funzione y = a x^2
Definisci uno slider di nome a che varia da -5 a 5 con un incremento di 0.1 e traccia il grafico della funzione[br] [center][color=#980000][b]y = a*x^2[/b][/color][/center]
Fai variare lo slider e osserva:
Per a>0 la concavità è rivolta verso
Per a = 0 la parabola diventa
Per a<0 la concavità è rivolta verso
Man mano che il valore assoluto di a aumenta, la curva si avvicina sempre di più
Per valori di a prossimi a 0 la curva si avvicina sempre di più
y = ax^2 + k
Cosa succede se alla mia equazione aggiungo una costante k?[br]Aggiungi un nuovo slider k che varia da -5 a 5 con incremento di 0.1 e modifica l'equazione della parabola in [br][code][/code][br][center][b][size=100][color=#ff0000][size=150][/size][size=150]y= ax^2 + k[/size][/color][size=150][color=#ff0000][/color][/size][/size][/b][/center]
Al variare di k la parabola trasla lungo l'asse
Per k>0 la parabola si sposta verso
Per k<0 la parabola si sposta verso
Esprimi in funzione di k le coordinate del vertice V
y=a(x+h)^2 + k
Se ad x sommo un parametro h, cioè se l'equazione diventa:[br][br][b][color=#ff0000][center][size=150]y = a(x+h)[sup]2[/sup] + k[/size][/center][/color][/b]come varia il grafico?[br]Imposta a = 1 e k =0, poi inserisci un nuovo parametro h, regolato da uno slider che varia da -5 a 5 con incremento di 0.1.[br]Aggiorna l'equazione della parabola modificandola in y = a(x+h)[sup]2[/sup] + k[br][br]Ora fai variare h e osserva...
Al variare di h, la parabola trasla lungo l'asse
Per h>0 la parabola trasla verso
Per h<0 la parabola trasla verso
Se pongo a=1 e k=0 e poi faccio variare solo h, le coordinate del vertice saranno
Se ora faccio variare anche k, le coordinate del vertice diventano:
L'asse di simmetria avrà equazione:
La parabola con la carta piegata
Segna su di un foglio bianco un punto F e una piega d che non passa per il punto. [br]Ora segui le indicazioni nell’ordine: [br][br]1. Segna un punto A[sub]1[/sub] sulla retta d. [br][br]2. Traccia la piega passante per F e A[sub]1[/sub], apri il foglio. [br][br]3. Porta a far combaciare il punto F con A[sub]1[/sub] e segna la piega s che si genera, apri il foglio. [br][br]4. Piega il foglio in modo che la retta d venga ripiegata su se stessa proprio nel punto A[sub]1[/sub]: la piega r così trovata in quale relazione è con d? Perché? [br][br]5. Segna con P[sub]1[/sub] il punto in comune tra la piega r e la piega s. [br][br]6. Ripeti lo stesso procedimento partendo da un altro punto A[sub]2[/sub] sulla retta d per individuare il punto P[sub]2[/sub] e via di seguito …
Prova a unire questi punti, cosa ottieni? Perché? In che relazione sono i punti F, P[sub]1[/sub] e A[sub]1[/sub]? Scrivi quello che hai pensato, motivando le tue risposte.