Scrive Carlo Emilio Gadda in uno dei racconti de L’Adalgisa – Disegni milanesi: «Le stanze del servizio, il bagno, i corridoi, l’anticamera e l’uno de’ due gabinetti, eran pavimentati con piastrelle rosse di piccolo formato: esagonali […]. L’apotèma di quelle mattonelle misurava centimetri 5,196: mentreché il raggio del circolo circoscritto raggiungeva i 60 millimetri».[br][br]Esprimere la relazione esatta tra raggio del cerchio circoscritto ed apotema (ossia il raggio del cerchio inscritto) per un esagono regolare.[br]Verificare il risultato ottenuto alla luce delle misure indicate dallo scrittore.

Spiegare perché, utilizzando piastrelle esagonali regolari tutte congruenti, è possibile pavimentare un piano. [br]Con quali altri poligoni regolari, tra loro congruenti, è possibile pavimentare un piano? [br]Motivare la risposta.

"Pavimentare" equivale in geometria alla "tassellazione del piano", che studia come ricoprire il piano con figure geometriche che si ripetono all'infinito senza sovrapporsi.[br][br]Per tassellare il piano con poligoni regolari congruenti, dobbiamo garantire che ogni vertice di ogni poligono sia un vertice comune a [math]k[/math] poligoni dello stesso tipo ([math]k\ge3[/math]) che formano in quel punto un angolo di [math]360°[/math].[br][br]La misura di ogni angolo interno di un esagono regolare è [math]120°[/math]. Ciò significa che in questo caso [math]k=3[/math] esagoni con un vertice in comune ricoprono correttamente il piano.[br][br]In generale, sappiamo che la somma degli angoli interni di un poligono regolare di [math]n[/math] lati è [math]S=\left(n-2\right)\cdot180°[/math], e quindi ogni angolo interno ha ampiezza [math]A=\frac{\left(n-2\right)\cdot180°}{n}[/math].[br][br]Affinché sia possibile tassellare il piano, la somma degli angoli interni dei "tasselli" in ogni vertice comune ad essi deve essere 360°.[br]Quindi, se abbiamo [math]k[/math] poligoni regolari, dovrà essere [math]k\cdot\frac{\left(n-2\right)\cdot180°}{n}=360°[/math], da cui [math]k=\frac{2n}{n-2}[/math].[br]Poiché [math]k\in\mathbb{N},k\ge3[/math] potremo tassellare il piano solo con poligoni regolari di 3, 4 oppure 6 lati, e quindi con triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari.

Usa lo slider ed esplora le pavimentazioni fatte con 3 piastrelle a forma di poligono regolare dello stesso tipo.