[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][i][color=#666666]Instrukcja wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych:[br]1. [i][color=#666666]W Widoku CAS[/color][/i] definiujemy funkcję [math]f[/math], określamy (i ewentualnie określamy [i][color=#666666]w Widoku Algebry[/color][/i]) dziedzinę funkcji.[br]2. Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji [math]f[/math] zgodnie z instrukcją przedstawioną w przykładzie 2.1.[br]3. W każdym punkcie stacjonarnym sprawdzamy, czy spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego - postępujemy zgodnie z instrukcją przedstawioną w przykładzie 3.1. [/color][/i]

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x,y)=x^4+y^3+32x-9y[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2. [/math][/center][u]Rozwiązanie:[/u]

Funkcja [math]f[/math] posiada pochodne cząstkowe w całej dziedzinie i ma dwa punkty stacjonarne, a zatem może posiadać co najwyżej dwa ekstrema lokalne.[br]

Dla punktu [math]P[/math]: [math]w_2>0[/math] i [math]w_1>0[/math], więc funkcja [math]f[/math] ma w punkcie [math]P[/math] minimum lokalne o wartości [math]-6\sqrt{3}-48[/math].[br]Dla punktu [math]Q[/math]: [math]w_2<0[/math], zatem [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w punkcie [math]Q[/math].[br][br][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/td][td][i][color=#666666][u]Uwaga.[/u] Poniższy aplet przedstawia wykres funkcji [math]f[/math] (a właściwie jego fragmenty) wygenerowany automatycznie w Widoku Grafiki 3D. Zauważmy, że ekstremum lokalne ma przybliżoną wartość równą [math]-58[/math] a zatem, aby zobaczyć punkt ekstremalny [math]R[/math] należy przeskalować oś [math]Oz[/math] (Shift+myszka na osi [math]Oz[/math]).[/color][/i][/td][/tr][/table]