Christian Mercat, Aug 17, 2016

Connaissez-vous le volume d'un cube de côté ? Bien-sûr, c'est presque la définition, sa mesure est et son unité, si est en , est en . Mais connaissez-vous le volume d'un tétraèdre régulier de côté ? Dites le haut et fort, n'ayez pas peur de l'avouer, la réponse est le plus souvent non et d'ailleurs qui se soucie du volume du tétraèdre régulier?! Et puis c'est quoi d'ailleurs un tétraèdre? Et qui se soucie encore de Platon au XXIè siècle? Pour arriver à la formule, nous allons nous ramener au bon vieux cube, que nous allons découper, de plusieurs façons différentes, en vingt-quatre tétraèdres, tous de même volume. Le volume d'un tétraèdre sera donc un vingt-quatrième de celui du cube, c'est la clef. Une playlist YouTube mettant en œuvre ces décompositions avec des origamis.

• 1. Vingt-quatre tétraèdres (différents) pour un cube
• 2. Vingt-quatre tétraèdres égaux pour un cube
• 3. Quart d'octaèdre
• 4. Double octaèdre
• 5. Pyramide double
• 6. Trois tétraèdres et une pyramide
• 7. Le double cube
• 8. Un octaèdre non régulier
• 9. Un octaèdre non régulier
• 10. Tiers de cube
• 11. L'octaèdre et les quarts d'octaèdres.
• 12. Double tétraèdre
• 13. Le tétraèdre tiers de cube
• 14. A third of a cube

Les patrons des polyèdres

• 1. Réseau triangulaire à partir d'une feuille A4
• 2. Patron du tiers de cube
• 3. Faces du tiers de cube A4
• 4. Patron du quart d'octaèdre

Cavalieri est un italien du XVIIème siècle, qui a inventé les indivisibles. Il s'agit de comprendre un objet comme un empilement de couches parallèles très très fines, tellement fines qu'on ne peut plus les diviser. C'est une tentative audacieuse pour son époque de se frotter à l'infini! Découper un objet en 100 couches parallèles, c'est envisageable. On peut faire glisser ces couches les unes par rapport aux autres, le volume de cet objet ne varie pas. Mais chacune peut encore être divisée en disons 100 couches parallèles, amenant à 10 000 couches parallèles qu'on peut faire glisser les unes par rapport aux autres. Ce sont les mêmes tranches qu'on déplace donc le volume est toujours inchangé. Le coup de force de Cavalieri est de passer à la limite et de décréter que cette propriété tient pour une infinité de couches parallèles qu'on fait glisser continuement les unes par rapport aux autres. On en déduit, en choisissant une base et par glissement continu de toutes les couches, des propriétés des aires et des volumes, par exemple on retrouve que l'aire d'un triangle, ne dépend que des longueurs de sa base et de sa hauteur. De même, le volume d'une pyramide ne dépend que de l'aire de sa base et de la longueur de sa hauteur (la distance entre le sommet et la base). C'est-à-dire, en posant la base sur le plan horizontal comme il se doit, qu'on peut déplacer à loisir le sommet de la pyramide dans son plan horizontal pourvu qu'on ne change pas son altitude. En dupliquant un objet et en le découpant de la même manière en tranches, on voit qu'on peut redisposer ces tranches en alternant une couche de l'un et une couche de l'autre. On aboutit ainsi à un objet qui est deux fois plus haut et deux fois plus volumineux. En passant à la limite, cet objet a subi une affinité de rapport deux dans la direction verticale. On pourrait faire en sens contraire, prendre une couche sur deux et obtenir un objet deux fois moins volumineux et deux fois moins haut. En élaborant sur cette idée, on démontre que le volume dépend linéairement de sa hauteur: si on double la hauteur, le volume double aussi. Remarquez qu'on peut faire subir des révolutions à nos solides: choisir une face oblique comme nouvelle base et faire basculer le solide jusqu'à ce que le sommet redescende à la base. La hauteur n'est alors plus la même! Avec ce principe, on voit que la mesure du volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions, le produit de deux constituant l'aire de la base et le troisième la hauteur. Mais un pavé, qu'il soit droit ou pas, a un volume qui est le produit de l'aire d'une base par la hauteur issue de cette base. Ce n'est pas si évident qu'il y parait dans le cas général!

• 1. Deux tétraèdres de même volume
• 2. Trois tétraèdres et une pyramide
• 3. Un tétraèdre et une pyramide de même volume