[color=#ff0000][i][b][size=50][right]Längere Wartezeiten: es wird eine Schar von impliziten Kurven geladen![/right][/size][/b][/i][/color]

[i][b]Cartesische Ovale[/b][/i] (benannt nach [b]René Descartes[/b]) sind [i]bizirkulare Quartiken mit [/i]der Gleichung:[br][list][*][math]\left[\left(1-m^2\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)+2 m^2\cdot c\cdot x+a^2-m^2c^2\right]^2-4a^2\cdot\left(x^2+y^2\right)=0[/math] mit [math]m,c,a\in\mathbb{R}[/math].[/*][/list]Die Kurve ist der Ort der Punkte [math]P[/math], deren Abstand von 2 "Brennpunkten" [math]F[/math] und [math]F^*[/math] mit [math]\left|F,F^{\cdot}\right|=c>0[/math] einer linearen Beziehung [math]\left|F,P\right|\pm m\cdot\left|F^{\cdot},P\right|=\pm a[/math] genügen. Für spezielle Parameterwerte ergeben sich Möbiustransformierte von Kegelschnitten. [br]Im Allgemeinen handelt es sich um bizirkulare Quartiken mit 4 verschiedenen Brennpunkten, von denen einer [math]\infty[/math] ist. [br]Im obigen Applet sind [math]F_{-1}=\left(-1,0\right),\,F_0=\left(0,0\right),\,F_c=\left(c,0\right)\mbox{ und } \infty [/math] die Brennpunkte und es ergeben sich folgende Kurven-Gleichungen: [br][list][*][math]\left(x^2+y^2\right)^2+x\cdot \left( x^2+y^2-c\right)\cdot \sigma\left( c,s\right)-\left(x^2+y^2\right)\cdot \tau \left( c,s\right) -y^2\cdot \left(\frac{\sigma\left( c,s\right)}{2}\right)^2+c^2=0[/math][br]mit [math]\sigma\left( c,s\right):=\frac{\left(c+s^2\right)^2}{s\cdot \left(c-s\right)\cdot \left(s+1\right)}[/math] und [math]\tau\left(c,s\right):=\frac{\left(c^2\cdot \left(c-2s-1\right)+s^3\cdot\left(\left(c-1\right)\cdot s+2c\right)\right)}{s\cdot \left(c-s\right)\cdot\left(s+1\right)}[/math], [math]c[/math] legt den Brennpunkt [math]F_c[/math] und [math]s[/math] einen Kurvenscheitel [math]S=\left(s,0\right)[/math] fest.[/*][/list]Für [math]c\rightarrow\infty[/math] erhält man in der Grenze Kegelschnitte mit den Brennpunkten [math]F_{-1}[/math] und [math]F_0[/math]. Für [math]c\rightarrow 0[/math] oder [math]c\rightarrow-1[/math] erhält man Kurven, die durch eine [b][i]Kreisinversion[/i][/b] aus Kegelschnitten entstehen, z.B. [i][b]Bernoulli-Lemniskaten, Lemniskaten[/b][/i] von[i][b] BOOTH[/b][/i].[br]Zu vorgegebenen 4 verschiedenen konzyklischen Brennpunkten gibt es 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, einer davon ist imaginär.[br]Durch jeden Punkte der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, gehen 2 zueinander orthogonale Kurven der Schar. Diese Kurven sind Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung[br][list][*][math]\left(g'\right) ^2=g\cdot\left(g+1\right)\cdot\left(g-c)\right)[/math], für die eine [i][b]Weierstrasssche[/b][/i] [math]\wp\mathbf{-Funktion}[/math] mit reellen Invarianten Lösung ist.[/*][/list][size=85][u][i][b]Zur Konstruktion dieser Kurven[/b][/i][/u] durch einen vor gegegebenen Punkt [color=#ff7700][b]P[/b][/color][br]... dienen folgende Eigenschaften dieser [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]: zu jeder [i][b]Symmetrie[/b][/i] gibt es die Kurve [i][b]dopplt-berührende Kreise[/b][/i]. Spiegelt man einen der [color=#ff0000][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] an diesen doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Bildpunkte auf einem Kreis: dem durch die Symmetrie und den gewählten Brennpunkt bestimmten [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][color=#000000]. [br]Der zur [math]x[/math]-Achsensymmetrie gehörende Leitkreis ist die [math]x[/math]-Achse selber, diese ist zur Konstruktion ungeeignet.[br]Wählt man als Brennpunkt [math]\infty[/math], so sind die 3 anderen [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konzentrisch, und die Mittelpunkte der doppelt-berührenden Kreise liegen auf dem jeweils zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. Zu jeder Symmetrie gehören "[color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]", das sind die Kreise durch die symmetrisch liegenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] einerseits und den Kurvenpunkt andererseits. Die doppelt-berührenden Kreise sind [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]. Da einer der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]\infty[/math] ist, ist ein [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] eine Gerade.[br]In der Schar der konfokalen kartesischen Ovale liegen 2 Quartiken, die durch eine Möbiustransformation aus einer [color=#ff7700][i][b]Cassini-Quartik[/b][/i][/color] entstehen. Dies ist der Fall, wenn der Leitkreis-Mittelpunkt auf auf einen der Schnittpunkte der Symmetriekreise fällt.[br]Im obigen Applet kann man den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt [/b][/i][b]F[sub]c[/sub] [/b][color=#000000]und den [color=#ff7700]Kurvenpunkt[/color][/color][b][color=#ff7700] P[/color] [/b][color=#000000]bewegen[b].[br][/b]Die doppelt-berührenden Kreise lassen sich durch ihre Mittelpunkte auf den [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] bewegen.[br]Die Berechnung der Schar aus impliziten Quartiken ist sehr aufwendig, ändert man die gewünschte Anzahl oder den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt F[sub]c[/sub][/b][/i][/color] , so muss man durch [b]Reset[/b] eine Neuberechnung initiieren.[/color][/color][/color][/color][br][/size][br][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]