射影幾何学

Bunryu Kamimura, Jun 28, 2015

絵画と数学のつながりを探りましょう。 『絵と数学』 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/perspective1.html[/url]

Table of Contents

  1. 絵画と数学
    1. 遠近法 Perspective
    2. 遠近法？ Perspective?
    3. 三点透視図法 perspective
    4. エイムズの部屋
    5. アフィン変換　affine transformation
    6. 逆遠近法
  2. パップスの定理
    1. Pappus's hexagon theorem
    2. Pappus's hexagon theorem2
    3. Pappus's hexagon theorem3
    4. メネラウスの定理
  3. デザルグの定理
    1. デザルグの定理 théorème de Desargues
    2. デザルグの定理のイメージ
    3. デザルグの定理のイメージ２
    4. デザルグの定理の証明
    5. デザルグの定理　視点の移動
    6. デザルグの定理の証明
  4. パスカルの定理
    1. パスカルの定理　Pascal's　theorem
    2. パスカルの定理
    3. パスカルの定理
    4. Brianchon's theorem
    5. 円の外接六角形
    6. チェバの定理
    7. チェバの定理の発見のし方
    8. 楕円（円錐曲線）の外接三角形
    9. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
    10. パスカルの定理とブリアンションの定理の証明
    11. パスカル（パップス）の定理の射影
  5. 水平線は直線？円？双曲線？
    1. エッシャーの絵と双曲線
    2. 高度１万メートルから水平線を見ると？
    3. 水平線の見え方
    4. 水平線の見え方２
    5. 実際の高さによる水平線の見え方

1.

絵画と数学

遠近法の発見はまさに射影幾何学の発見でした。 遠近法によって無限遠点が見出されたことがすごい。 三点透視法までの発見と、それを応用した錯視「エイムズの部屋」の動画まで。

  • 1. 遠近法 Perspective
  • 2. 遠近法？ Perspective?
  • 3. 三点透視図法 perspective
  • 4. エイムズの部屋
  • 5. アフィン変換　affine transformation
  • 6. 逆遠近法

1.1.

遠近法 Perspective

どのように作図したのでしょうか？[br]スライダーを動かしてみましょう。[br]ＣとＦが決まれば、後の点は必然的に決まってきます。
遠近法 Perspective
今度はジオジェブラを動かして自分で作っていましょう。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

パップスの定理

遠近法をよく見ると、そこにはパップスの定理が隠されています。 そして、パップスの定理は、円錐曲線でも成り立ちます。 不思議ですね。 なぜでしょうか？

  • 1. Pappus's hexagon theorem
  • 2. Pappus's hexagon theorem2
  • 3. Pappus's hexagon theorem3
  • 4. メネラウスの定理

2.1.

Pappus's hexagon theorem

パップスの定理
このように作図されたＫＬＭは一直線上に並ぶ。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

デザルグの定理

デザルグの定理で、Ａは視点です。 写真のようにＡから二つの三角形を見て重なった時に、 二つの三角形の辺の延長線は、必ず織り目で重なります。 このようにイメージすると証明は必要なくなります。

  • 1. デザルグの定理 théorème de Desargues
  • 2. デザルグの定理のイメージ
  • 3. デザルグの定理のイメージ２
  • 4. デザルグの定理の証明
  • 5. デザルグの定理　視点の移動
  • 6. デザルグの定理の証明

3.1.

デザルグの定理 théorème de Desargues

デザルグの定理・・・射影幾何学の基本定理
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

パスカルの定理

この二つの定理は双対です。 点⇔線とそれぞれ交換してできる定理です。

  • 1. パスカルの定理　Pascal's　theorem
  • 2. パスカルの定理
  • 3. パスカルの定理
  • 4. Brianchon's theorem
  • 5. 円の外接六角形
  • 6. チェバの定理
  • 7. チェバの定理の発見のし方
  • 8. 楕円（円錐曲線）の外接三角形
  • 9. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
  • 10. パスカルの定理とブリアンションの定理の証明
  • 11. パスカル（パップス）の定理の射影

4.1.

パスカルの定理　Pascal's　theorem

パスカルの定理[br]パスカルはこれを円で証明してから楕円に投影しました。[br]パスカル１７歳の時のことでした。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

5.

水平線は直線？円？双曲線？

「水平線は本当に真直ぐなのか」と考えたのが動機です。 高度１万メートルの上空から見た水平線はどう見えるのか？ 視点と切断面が大事です。 切断面とはカメラで切り取る平面のことです。 ３の図のように切断すると、円錐の曲線は何を描くのでしょうか？ 参考[url]https://bunryuk.hatenablog.com/entry/56700841[/url]

  • 1. エッシャーの絵と双曲線
  • 2. 高度１万メートルから水平線を見ると？
  • 3. 水平線の見え方
  • 4. 水平線の見え方２
  • 5. 実際の高さによる水平線の見え方

5.1.

エッシャーの絵と双曲線

エッシャーの絵と双曲線
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

Information