L'égalité de Pythagore

Collège Jules Verne Déville-lès-Rouen France, Mar 8, 2015

Fiches de révision sur le théorème de Pythagore, sa démonstration, son utilisation pour le calcul d'une longueur. Réciproque et contraposée.

Table of Contents

  1. Triangle rectangle et égalité de Pythagore
    1. Animation Egalité de Pythagore
    2. Egalité de Pythagore démontrée par Euclide
    3. Démonstration simple du théorème de Pythagore
  2. Utiliser l'égalité de Pythagore
    1. Calculer une longueur manquante : l'hypoténuse
    2. Calculer une longueur manquante : côté de l'angle droit
  3. Contraposée et réciproque
    1. Déterminer si un triangle est rectangle ou non
    2. Est-ce bien vrai ? Où est la preuve ?

1.

Triangle rectangle et égalité de Pythagore

L'égalité de Pythagore est la plus utile des propriétés géométriques. On la trouve décrite dans les textes anciens de presque toutes les civilisations antiques (mais elle était utilisée sans preuve de son exactitude). La première preuve écrite qui nous soit parvenue appartient à la civilisation grecque, avec Euclide.

  • 1. Animation Egalité de Pythagore
  • 2. Egalité de Pythagore démontrée par Euclide
  • 3. Démonstration simple du théorème de Pythagore

1.1.

Animation Egalité de Pythagore

ABC est un triangle ABC rectangle en C. On construit sur ses côtés trois carrés. Leurs aires sont AB², AC² et BC². Le théorème de Pythagore affirme que l'aire du plus grand carré est égale à la somme des deux autres, soit en termes exacts : [color=#c51414][i][b] Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.[/b][/i][/color] Vide le grand carré pour remplir exactement les deux petits !

Bien sûr cette petite animation ne prouve pas du tout que l'égalité de Pythagore est vraie. Seul un raisonnement mathématique sur les aires peut justifier cette égalité !
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1.2.

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1.3.

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2.

Utiliser l'égalité de Pythagore

Dans un triangle rectangle dont on connaît les longueurs de deux côtés, l'égalité de Pythagore permet de calculer la longueur du troisième côté. Il faut pour cela utiliser une racine carrée... Sous forme décimale, on obtient donc parfois une valeur approchée de la longueur voulue.

  • 1. Calculer une longueur manquante : l'hypoténuse
  • 2. Calculer une longueur manquante : côté de l'angle droit

2.1.

Calculer une longueur manquante : l'hypoténuse

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. On connaît les longueurs (en centimètre) de ses côtés [AB] et [AC] et on souhaite calculer la longueur de son hypoténuse, à 0,01 cm près. L'égalité de Pythagore s'écrit : [color=#1551b5]BC² = AB² + AC²[/color] Et l'on calcule BC² : [color=#1551b5]BC² = 9² + 4² BC² = 97[/color] Comme le montrent les calculs ci-dessous. BC est égal à la racine carrée de 97 et[color=#1551b5] [math]\sqrt(97)\approx 9,85[/math][/color], à 0,01 près. Tape cette réponse (9.85 [i]attention au point au lieu de la virgule[/i]) pour passer à la question suivante.

Pour les calculs suivants, tu peux utiliser ta calculatrice ou le calculateur de l'activité ci-dessus : - saisir les calculs dans une ligne vide - saisir sqrt(...) pour obtenir la racine carrée d'un nombre - cliquer sur le bouton "Valeur approchée" pour obtenir un résultat décimal approché.
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2.2.

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3.

Contraposée et réciproque

Lorsque l'on connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle mais que l'on ignore si ce triangle est rectangle ou non, on peut calculer si ce triangle vérifie l'égalité de Pythagore ou non et donc conclure que ce triangle est rectangle ou non !

  • 1. Déterminer si un triangle est rectangle ou non
  • 2. Est-ce bien vrai ? Où est la preuve ?

3.1.

Déterminer si un triangle est rectangle ou non

Dans un triangle ABC dont on connaît les longueurs des trois côtés on peut comparer le carré du [color=#444]plus grand[/color] côté avec la somme des carrés des deux autres côtés. [color=#c51414][b] Si l'égalité de Pythagore est vérifiée pour ce triangle alors c'est un triangle rectangle.[/b][/color] [color=#888][i](les mathématiciens appellent cette propriété la [color=#555]réciproque du théorème de Pythagore[/color])[/i][/color] [color=#c51414][b]Si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée pour ce triangle alors ce n'est pas un triangle rectangle.[/b][/color] [i](les mathématiciens appellent cette propriété la [color=#555]contraposée du théorème de Pythagore[/color])[/i] [color=#1551b5]Le triangle ABC ci-dessous semble être rectangle. Mais l'est-il vraiment ?[/color]

Effectue les calculs demandés avec ta calculatrice. Saisis toutes les décimales des résultats obtenus, sans arrondir : on veut comparer les valeurs exactes.
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3.2.

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