Il nous reste maintenant à démontrer que [math]\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}[/math][br][br]Pour cela, nous allons mener la parallèle à [math](AB)[/math] passant par [math]E[/math], elle coupe [math](BC)[/math] en [math]F[/math].

Nous avons prouvé en première partie, [color=#cc0000]l'égalité des rapports des côtés adjacents[/color].[br][br]nous avons, pour les triangles [math]CEF[/math] et [math]CBA[/math] : [math]\frac{EC}{AC}=\frac{CF}{CB}[/math][br][br]Soit : [math]\frac{AC-AE}{AC}=\frac{CB-BF}{CB}[/math][br][br]Ce qui équivaut à : [math]1-\frac{AE}{AC}=1-\frac{BF}{CB}[/math][br][br]Et donc à : [math]\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{CB}[/math][br][br][br]Or, [math](DE)\parallel(BC)[/math] et [math](EF)\parallel(AB)[/math], donc [math]DEFB[/math] est par définition un parallélogramme.[br][br]Nous avons donc [math]DE=BF[/math][br][br]Or : [math]\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{CB}[/math][br][br]Donc : [math]\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{CB}[/math]

Dans la première partie nous avons prouvé que :[br][math]\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}[/math][br][br]Ci-dessus nous avons prouvé que :[br][math]\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}[/math][br][color=#cc0000][br]Nous avons démontré la relation recherchée dans le cas de "triangles imbriqués":[/color][br][br][math]\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}[/math]