Mielőtt a gömbi geometria GeoGebra modelljének az itt kifejlesztett, és használatra ajánlott saját eljárásait rendre bemutatnánk, szükségesnek tartjuk az ebben használt alapfogalmak tisztázását. Annak ellenére, hogy feltételezzük: ezek a fogalmak többnyire ismertek olvasóink számára.[br][br][i][size=150]Gömbi geometrián[/size][/i] a gömb [u]felületen[/u] lévő geometriai objektumok (szerkesztések) összességét értjük. A gömbi geometria szempontjából a gömb mérete (sugara) bármekkora lehet.[br][br][i][size=150]Gömbi pont:[/size] [/i]a gömb felületén adott, vagy szerkesztett pont.[br][br]Egy gömbi pont [size=150][i]átellenes ( [/i][i]antipodális) pontja[/i]:[/size] a gömbi pontnak a gömb középpontjára vonatkozó tükörképe. [br][br]Általában: gömbfelület[i] antipodális alakzat[/i]ai azok, amelyek egymásnak centrális tükörképei a gömb középpontjára nézve.[br][br] Három gömbi pont [i]általános helyzetű[/i], ha síkjuk nem illeszkedik a gömb középpontjára. (Így közülük kettő nem lehet antipodális.)[br][br][size=150][i]Gömbi egyenes[/i]: [/size]A gömb egy főköre. A Gömbi főkör középpontja a gömb középpontja. A gömbi egyenest egyértelműen meghatározza két, egymással nem átellenes pontja.[br][br][i][size=150]Gömbi félegyenes: [/size][/i]Adott kezdőpontú, és adott belső pontú fél főkörív.[br][br][i][size=150]Gömbi szakasz: [/size][/i]Két gömbi pont által meghatározott gömbi egyenesnek e két ponthoz - a [i]gömbi szakasz végpontjaihoz -[/i] tartozó [i][u]rövidebbik [/u][/i]főköríve. (Így egy gömbi szakasz [u]kisebb[/u] mint egy gömbi főkör fele.)[br][br][size=150]Egy [i]gömbi szakasz hossza:[/i] [/size]a gömbi szakaszhoz, mint körívhez tartozó középponti szög. Így megadható fokokban, vagy ívmértékben is. [i]Két gömbi szakasz egyenlő, (egybevágó)[/i], ha hosszuk megegyezik.[br][br]Két gömbi egyenes (félegyenes, szakasz ) [i]merőleges,[/i] ha síkjaik merőlegesek egymásra.[br][br][i][size=150]Gömbi kör: [/size][/i]A gömbfelület bármely olyan síkkal alkotott metszésvonala, amely nem illeszkedik a gömb középpontjára. Három általános helyzetű gömbi pont egyértelműen meghatároz egy gömbi kört. Egy [i]gömbi kör középpontja[/i] a gömb középpontjára illeszkedő, és kör síkjára merőleges egyenesnek a gömbbel alkotott metszéspontjainak bármelyike. (E két pont egymás antipodálisa)[br][br]Gömbi egyenes, félegyenes, szakasz vagy gömbi kör [i]pólusa[/i] olyan gömbi pont, amely a gömbi egyenes, félegyenes, szakasz, kör bármely pontjától egyenlő távolságra van. A pólusra és a gömb középpontjára illeszkedő térbeli egyenes [u]merőleges[/u] a gömbi kör, egyenes, félegyenes szakasz [u]síkjára[/u]. Minden gömbi egyenesnek szakasznak, körnek két pólusa van. Gömbi kör esetén ezeket a kör [i]gömbi középpontjának[/i] is nevezhetjük.[br][br]Egy gömbi [size=150]pont [i]polárisa[/i][/size] az a gömbi egyenes, amelyet a pontnak és a vele átellenes pontnak a szimmetriasíkja metsz ki a gömbfelületből. Egy gömb adott pontjára vonatkozó polárisa merőleges az adott pontra illeszkedő bármely gömbi egyenesre.[br][br][size=150][i]Gömbkétszög:[/i] [/size]a gömbfelület két, közös kezdőpontú gömbi félegyenese által határolt, a félgömb felületnél kisebb része.[br][br][size=150][i]Gömkétszög szöge[/i]: [/size]a gömbkétszöget határoló gömbi félegyenesek (fél-főkörívek) síkjainak a szöge. (Ez megegyezik a a csúcsokhoz tartozó érintő félegyenesek szögével.) A gömbkétszögek területeinek aránya megegyezik a szögeik arányával. Így, mivel az (egységnyi sugarú) gömb felszíne 4π, az α szögű [i]gömbkétszög területe[/i] α4π/2π = 2α. [br][br]Legyen O a tér egy tetszőleges pontja. Három O kezdőpontú nem egy síkban fekvő[i] a, b, c [/i]félegyenes egyértelműen meghatározza a [u]konvex[/u] (ab)∢ , (bc)∢, (ca)∢ szögeket, amelyek a teret két részre osztják. E térrészek egyike konvex. Ezt nevezzük[i] [size=150]háromélű konvex triéder[/size]nek. [/i][br][i][br][size=150]Gömbháromszög[/size][/i]nek nevezzük a gömbfelületnek azt a részét, amelyet az (alap)gömb felültéből egy olyan háromélű konvex triéder metsz ki, amelynek a csúcsa a gömb középpontja.[br][br]Egy gömbháromszög [i][size=150]átellenes -antipodális - gömbháromszög[/size]én[/i] azt a gömbháromszöget értjük, amelynek a csúcsai a csúcsok antipodális pontjai.[br][br]Egy gömb-kétszöget határoló két gömbi félegyenes egy-egy pontjához tartozó gömbi szakasz a gömb-kétszöget két gömb-háromszögre bontja. Ezt a két gömb-háromszöget egymás [size=150][i]kiegészítő gömb-háromszögének[/i] [/size]nevezzük. Ez a gömb-háromszögek közötti reláció szimmetrikus.[br]

A [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mbi_geometria]gömbi geometria[/url] alapfogalmainak a megismeréséhez, szemléltetéséhez átnyújtjuk olvasóinknak - a hiperbolikus geometria [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe]itt bemutatott[/url] P-modelljének az [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/knyrh3mM]eszköztárához[/url] hasonló módon fejlesztett saját GeoGebra eljárások gyűjteményét.[br][br]A továbbiakban [i][b]G[/b]-modellnek[/i] nevezzük azt az eszköztárat, amely lehetővé teszi, hogy olvasóink önálló szerkesztéseket végezzenek a gömbön, így megismerkedjenek azokkal a gömbi geometriai összefüggésekkel, amelyeket ennek az eszköztárnak a kifejlesztésével igyekeztünk szemléletesé tenni. [br][br]A továbbiakban ezeket a G-modellen megadott geometriai fogalmakra a [i]G-pont, G-egyenes G-háromszög[/i] ... stb elnevezéseket használjuk, de ha a szövegkörnyezetből egyértelműen kitűnik, olykor el is hagyjuk a [i]G- [/i]jelzést. [br][br]Javasoljuk olvasóinknak[u] töltsék le [/u]az alábbi -üres ?? - appletet, és saját gépükön próbálják ki az összes itt megadott gömbi eljárást.

A modell alapgömbje az origó középpontú 5 sugarú [b]Gömb((0,0,0),5)[/b] GeoGebra objektum, amelyre névvel egyetlen saját eljárás sem hivatkozik. (Az applet szabályozható áttetszőségű gömb (mint segédalakzat) ennél picivel kisebb, így jobban szemléltethetők az alapgömb felületére rajzolt objektumok. (Az alapgömb azért ekkora, mert a 3D-s nézet (ház jelű) ikonjára kattintva úgy lehet alapállapotba hozni a rajzteret. hogy ez a gömb többnyire belefér.[br][br]Az alábbi ikonkészlet első oszlopában a metszési- illeszkedési eljárások, a másodikban a mérésekkel kapcsolatos eljárások találhatók. Mivel a gömbi szerkesztések mellett szükségünk lehet a térnek az alapgömbhöz nem tartozó objektumaira is (Pl. a GVetítés() eljárásban), ezért a saját eljárásaink mellett GeoGebra alapértelmezésében szereplő térgeometriai eljárások ikonjai is elérhetők maradtak.

[b]1. Gömbi Pont[/b] Lényegében a [b]([size=200]∙[/size]) [/b]jellel ellátott gomb scriptje a [b]Pont(Gömb((0,0,0),5)) [/b]parancs, így ezzel vehetők fel a alapgömb felületén mozgatható pontok. Ez azért nem vehető fel a saját eljárások közé, mert nincs bemenő adata. Ez a gomb nem használja a fenti (üres) fájlban megjelenő gömböt.[br]Azt egyetlen későbbi eljárás sem veszi igénybe, nem is hivatkozunk rá.  Ha egy pontot egy már felvett [b]c [/b](vonal) alakzaton mozgó félig kötött pontként szeretnénk felvenni, akkor ezt a parancs-sorba írt [b]Pont(c)[/b] paranccsal tehetjük meg.  Több pontot egyszerre megadva ugyanoda ( az[i] (5,0,0)[/i] helyre) kerülnek, ezért egy új pont felvétele előtt az esetleg még ott lévő, előzőleg felvett pontot előbb [u]el kell mozdítani[/u] onnan.[br][b][br]2. [/b][b]GEgyenes() , GFélegyenes(), GSzakasz(): [/b]Mindhárom eljárás bemenő adata két [u]különböző[/u] pont. A parancssorból is hívhatók rendre Ha az egyik pont egybeesik a másikkal, vagy annak az átellenes pontjával, akkor az eljárás nem definiált.) [br][br][b]3. [/b][b]GMerőleges() :[/b] Adott gömbi pontra illeszkedő adott G-egyenesre, (vagy G-Szakaszra, G-körre) illeszkedő [u]G-egyenes.[/u] Ha a bemenő adatként felvett gömbi pont éppen a másodikként megadott gömbi vonal pólusa akkor a G-merőleges nem definiált, mivel nem lenne egyértelmű.[br][br][b]4. [/b][b]GTükrözés()[/b]:Bemenő adat egy gömbi pont, majd egy G-egyenes, G-félegenes vagy G-szakasz. Az eljárás – szándékosan - nem működik, ha a bemenő adat egy olyan G-kör, amelynek a síkja nem illeszkedik az origóra.  Ha nem egy pontot, hanem egy tetszőleges [b]P[/b] alakzatot (pl. háromszöglapot) akarunk tükrözni a [b]c [/b]nevű G-egyenes síkjára, akkor ezt a [b]Tükrözés(P,Sík(c))[/b] paranccsal tehetjük meg.[br][br][b]5. GFelezőmerőleges(): [/b]Lényegében két gömbi pont tükörsíkjának és az alapgömbnek a metszésvonala.[br][br][b]6. GSzögfelező(): B, A, C [/b]sorrendben megadott pontokkal a az [i][AB)[/i] és [i][AC)[/i] G-félegyenesek szögfelező G-félegyenesét kapjuk.[br][br][b]7. Gkör(): [/b]Bemenő adata a kör gömbi középpontja és egy gömbi kerületi pont. Vegyük figyelembe, hogy egy gömbi körhöz két - egymással átellenes - gömbi középpont tartozhat, így ha a két megadott pont távolsága nagyobb is lehet, mint 90°.[br]Egy kör megadható három G_Ponttal is. Pl. [b]c=Kör(A,B,C) [/b]GeoGebra parancs egy kört állít elő, ha A, B és [i]C[/i] a tér három pontja. Így gömbi kört kapunk, ha [i]A, B, C[/i] a G-modell három pontja. Ekkor pl. a [b]c[/b] kör [u]gömbi[/u] középpontjait a[sub] [/sub][b]GPólus(c) [/b]paranccsal kaphatjuk meg[b].[/b][br][br][b]8. [/b][b]GKörS():[/b] Adott középpontú, adott sugarú G kör. A középpont megadását követően a felnyíló input ablakban egy G szakasz [u]gömbi hosszát[/u] kell megadnunk, amely fokban, vagy ívmértékben megadott szög. Ez egy már megszerkesztett G_szakasz is lehet. Ekkor a neve egyben a gömbi körív ívhossza, így a [b]c[/b] G szakasz 1/5-öd részét kell beírni pl:[b] c/5 [/b]alakban, mivel az alapgömb sugara 5.[br][br][b]9. GPoláris()[/b]: Egy adott gömbi ponthoz azt a G egyenest rendeli hozzá, amelynek a síkja az adott pontnak és átellenes pontjának a szimmetriasíkja. (Így ez az eljárás egy G-ponthoz és az átellenes pontjához is ugyanazt a G-egyenest rendeli. [br][br][b]10. GPólus()[/b]: Egy adott G egyeneshez ill. G körhöz azokat a gömbi pontokat rendeli, amelynek az adott G-egyenes illl. G-kör a G-középpontja. [url=https://www.geogebra.org/m/szvnn79m]Bővebben: [/url][br][br][b]11. GMetszéspontABCD() ,GMetszéspontKAB(), GMetszésppontKK()[/b] : Két G-szakasz, egy G-kör[br]és egy G-szakasz valamint két Gkör metszéspontját határozzuk meg. A szakaszokat [u]végpontjaikkal[/u] kell megadni , mivel a saját eljárás bemenő adata nem lehet körív, csak kör, vagy pont.

[b] [/b][br][b]12. GSzög()[/b] : Bemenő adata három gömbi pont. Középső a szög csúcsa, a másik kettő a csúcsra illeszkedő G egyenes egy-egy pontja. A kapott szög neve egyben a fokokban mért mértéke is. Megjegyezzük hogy két G egyenes (félegyenes, szakasz) szöge lényegében az alakzatok síkjainak a szöge.[br][br][b]13.  GVetítés():[/b] Az eljárás [u]a tér bármely pontját[/u] rávetíti a [b]Gömb((0,0,0),5) [/b]alapgömbre. Ez az eljárás alkalmas arra, hogy pl. előállítsuk egy poliéder pontjainak az alapgömbre eső merőleges vetületét. [br][br][b]14.[/b] [b]GSzakaszOSZT()[/b] : Egy végpontjaival adott G szakaszt [i]n[/i] részre részre osztó pontokat állítja elő a szakasz végpontjait is beleértve. Bemenő adat: az [i]A[/i] és [i]B[/i] gömbi pont, majd az [i]n [/i]egész szám. Eredmény: egy (n+1) pontból álló lista. Erre az eljárásra elsősorban a következő eljárás elkészítéséhez volt szükség.[br][b] [/b][br][b]15. GHR(),GHF() : [/b]Gömbi háromszöglapok. Ugyanarra a feladatra két változat is készült.[br]Mindkét eljárás bemenő adata a G háromszög három csúcsa. Eredménye egy az alapgöbre simuló gömbháromszög felület. A felület átszínezhető. Mivel az alapgömb felületén helyezkedik el, és az alapgömb megjelenítéséhez ennél 0.05 egységgel kisebb gömböt használunk, ezért a színek nem zavarják egymást. Javaslat: Ha a szemléletesség érdekében azt szeretnénk, hogy a lap „belülről” másmilyen színű legyen, hajtsunk végre egy origó középpontú 0.995 arányú nyújtást, és az így kapott felületnek adjunk más színt.[br]Ezeknek az eljárásoknak az elkészítése programozástechnikai szempontból is figyelemre méltó. [br][br]

Olykor egyszerűbb egy-egy műveletet a parancs sorban megoldni: pl. egy pont antipodális (átellenes) pontja, az origóra való tükrözéssel sőt az [b]A'=-A[/b] paranccsal is előállítható. Így meghagytuk a GeoGebra eredeti ikonjait is.[br][br]A Cyan színű ikonnal előállított gömbháromszög szebb, pontosabb képet eredményez, viszont -mivel több számolást igényel - alkalmazásával lassabbá válhat a program betöltése, és interaktív kezelése. Erről [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/dz65t3ff]itt olvashatnak bővebben[/url] a GeoGebra programozása iránt érdeklődő olvasóink.

[url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/a78kTk7w]Itt volt szó[/url] az abszolut geometria, ezen belül a hiperbolikus geometria axióma rendszeréről. [br]Többek között beláttuk, hogy az abszolut geometria eszköztárával igazolható, hogy vannak a síkban egymást nem metsző egyenesek.[br][br]Mint említettük, arra a kérdésre, hogy hány olyan egyenes van egy pont és rá nem illeszkedő egyenes síkjában, amely illeszkedik az adott pontra, és nem metszi az adott egyenest, adhatunk olyan választ is, miszerint[u] egy sincs[/u], azaz:[br][list][*][b][i] [/i][color=#980000][i]A sík bármely két pontjára pontosan egy egyenes, és bármely két egyenesére pontosan egy pont illeszkedik.[/i][/color][/b][/*][/list]Ez a kijelentés az elliptikus geometria párhuzamossági axiómája. Ehhez persze módosítani kell a rendezési axiómacsoport fogalmait és axiómáit is. Például [u]nem érvényes[/u] az egy egyenesre illeszkedő három pontra az a kijelentés, hogy [u]három ilyen pont közül egy minden esetben [i]közte[/i] van a másik kettőnek.[/u] Ehelyett azt mondjuk, hogy az (A,B) és (C,D) pontpár egymás[i] elválasztó pontpárja, [/i]ha [i]A[/i]-ból- [i]B[/i]-be csak úgy jutunk el folytonos mozgással, ha eközben a mozgó pont egyszer egybeesik [i]C[/i] és [i]D[/i] egyikével, de a másikával nem. (gondoljunk például arra, hogy a négy pont egy körvonalon van [i]A, C, B, D[/i] vagy [i]A, D, B, C[/i] sorrendben.[br]Az egy egyenesen lévő pontpárok közötti elválasztás, mint reláció szimmetrikus. [br][br]Ebből az is következik, hogy az elliptikus geometriában :[br][list][*][b] [/b][i][color=#980000][b]Az egyenes zárt vonal, amelyet két pontja - mondjuk A és B - az egyenes velük nem egybeeső pontjait két osztályba sorolja, ahol A és B, valamint e két osztályba tartozó egy-egy pont elválasztó pontnégyest alkot.[/b][/color][br][/i][/*][/list][color=#333333]A gömbi geometria G-egyenesei ezt a feltételt teljesítik, az viszont nem teljesül, hogy a gömbfelület bármely két pontjára pontosan egy egyenes illeszkedik. Így a gömbi geometria a megismert formájában nem modellezi az elliptikus geometriát. [/color]

Az imént említett hiányosságot ki tudjuk küszöbölni úgy, hogy a gömbi geometria - jelen esetben a már megismert - G-modell átellenes (un. [i]antipodális[/i]) objektumait [u]azonosnak tekintjük.[/u] [br][br]Bár tudjuk, hogy az egész matematika absztrakciók sorozata, a fenti kijelentésből sokkal szokatlanabb, erősebb absztrakciót igénylő összefüggések következnek, mint amikkel euklideszi, vagy a hiperbolikus geometria megismerése során találkozhattunk. [br][br]Az alábbi appletre tekintsünk úgy, hogy [u] tudunk arról[/u], hogy a gömb felület minden pontja és bármilyen más objektuma azonos az átellenes objektumával. Ugyanakkor [u]nem látjuk[/u], ugyanis - szándékosan -kikapcsoltuk a gömb áttetszőségét, így mindig pontosan egy félgömbfelületet látunk. [br][br]Legyen adott az E-sík két pontja [b][color=#0000ff]A [/color][/b]és [color=#0000ff][b]B[/b][/color] . Ha úgy fordítjuk a gömböt, hogy ezek egyike, vagy mindkettő a nem látható félgömbre kerül, akkor máris megjelenik az antipodálisa. [br][list][*][i][b][color=#980000]Két E-pont a rájuk illeszkedő E-egyenest két[/color] [/b][/i][color=#980000][i][b]részre osztja, az egy-egy részhez tartozó részt E-szakaszoknak nevezünk. [/b][/i][/color][/*][/list][color=#980000][b][i][br][/i][/b][/color]Az így kapott szakaszok mérésére használni fogjuk a gömbi geometriából ismert mértéket: a szakaszok [i]hosszát [/i]egy-egy szöggel mérjük. Eszerint az egy E-egyenesre illeszkedő két szakasz mértéke kiegészítő szögpárt alkot, tehát a szakaszok közül vagy mindkettő derékszög, vagy az egyik hegyes, a másik tompa szög. [br][br][list][*][b][i][color=#980000]Az egyenes véges hosszú, mértéke az egyenesszög. [/color][/i][/b][/*][/list][br]A két szakasz végpontjai [i]elválasztják [/i]egymástól a különböző szakaszok végpontjaira nem illeszkedő pontokat. A félegyenes fogalmát itt nem használhatjuk.[br][br][br][br]Milyen furcsa jelenség jöhet még?

Az A és B pont által meghatározott szakaszokat a fenti appletben színük alapján különböztettük meg.[br][br]Tegyük láthatóvá a két E_szakasz felező merőlegeseit is. Ezek merőlegesen metszik egymást az [b]AB[/b] E-egyenes pólusában. Addig, amíg a G-modellem egy G-egyeneshez két G-pólus tartozott, és két anipodális pontnak egy polárisa volt, itt ez az ellentmondás feloldódott: Minden E-egyenesnek pontosan egy pólusa van, és ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.[br][br] Ugyanez igaz az E-sík köreire is: Bármely E-körnek egy E-középpontja van. A sugara legfeljebb kvadrátnyi lehet. [br][br]A fenti appletet vizsgálva előfordulhat, hogy egy kör helyett egy körívet, és a nem látható résznek az antipodális (átellenes) ívét látjuk., bár[u] tudjuk[/u], hogy ez ugyanaz a kör. Animációval mutatjuk be, hogy egy [b]M[/b] pont körbefut az adott körön. A nézőpontunktól függ, hogy ezt a körforgást pozitív, vagy negatív irányúnak látjuk-e. [br][br][size=85]Bár nem tartozik szorosan a témánkhoz, de az euklideszi eszközökkel is csak az igazolható , hogy az euklideszi sík és tér irányítható: megkülönböztethető két irány, de az, hogy azt nevezzük pozitívnak, amelyik az "óramutató járásával ellentétes", az a matematikán kívüli megállapodás. Ugyanígy relatív az euklideszi távolság-fogalom is.[/size]

Most vegyük szemügyre ismét [url=https://www.geogebra.org/m/ybgxgbqa]az itt megismert[/url] appletet. A különbség "mindössze" annyi, hogy a kapott alakzatok áttetszősége megszűnt, az egymással átellenes (antipodális) pontokat ugyanazzal a betűvel, az átellenes háromszögeket ugyanazzal a színnel jelöltük. [br][br]Az A,B,C pontok mozgatásakor továbbra is kikapcsoltuk a háromszöglapok láthatóságát.

A modell minden háromszögének[u] ugyanaz[/u] az[b] A, B, C[/b] ponthármas a csúcsa. [list][*][i][b][color=#980000]Az E-sík háromszögének nevezzük a három nem kollineáris pontból, és az ezekre illeszkedő három E-egyenesből álló geometriai alakzatot.[/color][/b][/i][/*][/list][color=#333333]Az euklideszi- vagy a hiperbolikus geometriában használt háromszöglap fogalom itt nem használható abban az értelemben, hogy vannak "belső" és "külső" pontok, hiszen ugyanaz a három pont négy háromszöglapot is meghatároz. Ezeket a fenti appletben színeikkel különböztetjük meg. [br][/color]Kimondhatjuk, hogy az így értelmezhető háromszöglapok közül bármely kettőnek van közös éle. Így bármely kettő a modellnek egy gömbkétszöge.[br][br]Mivel a modellen pontosan egy félgömbnyit látunk, ha az[i] A, B ,C [/i]pontok nem esnek a gömb kontúrkörére, midig látunk a modellen egy - és csak egy - háromszöget, amely nem metszi a kontúrkört. Vegyük észre, hogy ugyanazt a háromszöget hol pozitív, hol negatív körüljárásúnak látjuk. Így tapasztalható, hogy :[br][list][*][b][i][color=#980000]Az E-sík nem irányítható felület.[/color][/i][/b][/*][*][b][i][color=#980000]Egy E-egyenes nem választja el a rá nem illeszkedő pontokat, két E-egyenes azonban már igen. [/color][/i][/b][/*][/list][color=#333333]Amíg a G-modellen Két G-egyenes négy gömkétszögre osztotta a gömb felületét, Itt azt mondhatjuk, hogy két E-egyenes két E-gömbkétszöget hoz létre. Ne feledjük: az antipodális gömbkétszögek azonosnak tekintendők. Egy harmadik E-egyenes az előző kettőt két pontban metszi, így ezek a szakaszok már elválasztják az E-gömbkétszög rá nem illeszkedő pontjait.[br][br]Így tehát kimondhatjuk, hogy:[br][/color][list][*][color=#980000][b][i]Az E-sík három általános helyzetű pontja négy háromszöglapot határoz meg.[br][br][/i][/b][/color][/*][*][b][i][color=#980000] Az E-sík minden [/color][color=#333333]P[/color][color=#980000] és Q pontja, amely nem illeszkedik az általuk meghatározott három E-egyenesre, akkor tartozik ugyanahhoz a háromszöglaphoz, ha az általuk meghatározott egyik szakasznak nincs közös pontja a három E-egyenes egyikével sem.[/color][/i][/b][/*][/list]Leszögezhetjük, hogy az elliptikus geometria Gömb modelljének a megismerése komoly szemléletváltást, absztrakciót igényel. Nehéz követni, hogy minden geometriai alakzatnak "ott van" az antipodális "társa" is, és e kettő együtt egyetlen alakzatot jelent.[br][br] Talán könnyít a helyzetünkön, ha az elliptikus geometriát egy félgömbön fogjuk modellezni, ahol egy-egy objektum csak egy "példány"ban lesz jelen.