[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜直角以外の角はペア＞[br][/size][/size][/b][color=#0000ff][b][size=150]直角以外のペアを角A,角Bとし、直角をCとするとき、[br][/size][/b][/color]角AとBを互いに[color=#0000ff][b][size=150]余角[complementary angle][/size][/b][/color]ということがある。[br]角A,B,Cの対辺をa,b,rとしてみる。[br]・Aの角の[color=#0000ff]正弦sinA[/color]はAからスタートし、[[color=#0000ff][u]A[/u]→B→C（直角が最後）[/color]]の順になぞる、[br]ｓの筆記体に似ている。[math]\frac{BC}{AB}=\frac{a}{r}[/math]と、[color=#0000ff]斜辺rが分母、[u]Aに正対する対辺a[/u]が分子[/color]になる。[br]・Aの角の[color=#0000ff]余弦cosA[/color]はAをはさむ[[color=#0000ff]B→[u]A[/u]→C（直角が最後）[/color]]の角A記号順で、[br]ｃの文字に似ている。[math]\frac{AC}{BA}=\frac{b}{r}[/math]、[color=#0000ff]斜辺が分母[/color]、Aの対辺でも[br]斜辺でもない[u]残りの辺[/u]、Aにくっつく辺が分子になる。[br]・Aの角の正接tanAはAからスタートして直角を経由しACBの順で、[br]ｔの筆記体に似ている。[br][color=#0000ff]A地点から、[/color]直角Cまでの距離分のCから[color=#0000ff]Bの高さを仰ぎ見る角の傾き[/color]。[br]すると、[color=#0000ff][size=150][b][u]ペアで定義からsinとcosが入れ替わる[/u][/b][/size]。A+B=180-90=90度から[/color]、[br][b][u]sinB=cosA=cos(90-B)。[br]cosB=sinA=sin(90-B)。[br]tanB=1/tanA(逆数になる）[/u][/b][color=#0000ff][br]（例）おなじみの値なので、計算できてしまうもの。[br]　[/color][size=150][color=#0000ff][b][u]◯＋△＝９０（度）ならsin◯＝cos△[br][/u]・√３がからむか1/2がからむと30度か60度。（小中学生がやるように正三角形で確認）[br]・√2がからむと45度（小中学生がやるように直角三角形で確認）。[br][/b][/color][/size][size=150][b]　sin30°＝cos60°=[/b][math]\frac{1}{2}[/math][b]、[br]　sin60°＝cos30°=[/b][math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math][b]。[br] tan30°=1/tan60°=[/b][math]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math][b]、tan60°=[/b][math]\sqrt{3}[/math][b][br] sin45°=cos45°=[/b][math]\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math][b]、tan45°=[/b][math]\frac{1}{1}[/math][b]=1。[br][/b][/size] [color=#0000ff]（例）[/color][color=#0000ff]値がわからなくても、置き換えだけはできる例[br][/color]　sin20°=cos70°、tan20°=1/tan70°。[br][color=#0000ff]（例）角度θがわからなくても、直角三角形の３辺の長さから決まる例。[br][/color] θが90°未満で、sinθ＝3/5のときのcosθ、tanθは？[br]　斜辺１の直角三角形とすると、[br]　残りの辺の長さは1-(3/5)[sup]2[/sup]=16/25の平方で4/5。[br]　だから、[br] cosθ=4/5。tanθ=3/4。[br]（例）角度がわかっていても、辺の比が未知の非有名角（36°、18°など）[br]　・cos36°、sin36°[br]　相似や二等辺三角形を利用して辺の比を求める。それを利用して三角比に利用しよう。[br]　A,B,Cの順に36,72,72（°）の二等辺三角形を作りAB上に点Dをとり、72の角CをCDで2等分する。[br]　すると、三角形BCDはABCと相似。DからACに垂線DEを下ろすと、DEは二等辺三角形ADCの角Dを[br]　2等分するから、三角形ADEと三角形CDEは合同。[br]　BC＝１、DB＝ｘとおくと、二等辺の特徴から、CD=AD=BC=1。AC=AB=１＋ｘ[br]　三角形ABCとDBCの相似比からｘ：１＝１：(１＋ｘ)。x(1+x)=1となり、x[sup]2[/sup]＋x−１＝０[br] x=(-1+√5)/2。だから、AB=AC=１＋ｘ＝(1+√5)/2となる。EはACにの中点だから、AE＝(1+√5)/4[br] だから、[br] cos36°=AE/AD=(1+√5)/4。[br] sin36°=1-(1+√5)[sup]2[/sup]/4[sup]2[/sup]=(16-1-5-2√5)/16=(10-2√5)/16=(5-√5)/8。[br]　・sin18°、cos18°[br] A,B,Cの順に36,72,72（°）の三角形の辺の比がAB:BC＝(1+√5)/2：１であることが利用できる。[br]　角Aから垂線AFをひくと、直角三角形ABFの辺の比は(1+√5):1となるから、[br] sin36°=1/(√5+1)=(√5-1)/(5-1)=(√5-1)/4。[br] cos18°=1-(√5-1)[sup]2[/sup]/4[sup]2[/sup]=(16-1-5+2√5)/16=(10+2√5)/16=(5+√5)/8。

[b][size=150]＜円周上で三角比を再定義する＞[/size][/b][br]中心Oで半径ｒの半円を、A(r,0),B(0,r),C(-r,0)の順にかく。円周上の点をPとする。[br][u]半径OPが半径OAと作る角AOPは０°以上180°以下で、角AOPをθ(シータtheta）とする。[br][/u][br]・θが90°未満のとき、OPを斜辺として、[br]Pからｘ軸におろした垂線の足をHとする。[br]直角三角形OPHで、半径OP＝rだから、三角比は次のようにかける。[br][math]cos\theta＝\frac{OH}{r},sin\theta=\frac{PH}{r},tan\theta=\frac{PH}{OH}[/math][br][br]すると、[br]点Pの[br][color=#0000ff]ｘ座標[/color]＝OH＝[color=#0000ff]rcosθ[/color]、[br][color=#0000ff]ｙ座標[/color]＝PH＝[color=#0000ff]rsinθ[/color]となる。[br]そして、[color=#0000ff]tanθ[/color]＝ｙ/xで原点Oを通る動く[color=#0000ff]半径（動径）OPの傾き[/color]になる。[br]三角比を動点の座標と動径の傾き再定義する。[br][br][color=#0000ff][u]三角比の再定義「半径ｒの円周と直線y＝mxの交点Pについて、P（r cosθ、r sinθ)、m＝tanθ」[br][/u][/color][br][b][size=150]＜θと180-[b][size=150]θ[/size][/b]の三角比＞[/size][/b][br]和が180°になる２つの角を互いに[color=#0000ff][b][size=150]補角[supplementary angle][/size][/b][/color]ということがある。[br]θが90°と180°の間のとき、[color=#0000ff]α＝180-θ[/color]となる角AOP’を作る。[br]OP’はOPをｙ軸に対称移動。[br]OP’とOPの[color=#0000ff]ｙ座標は同じで、ｘ座標と傾きは異符号で同じ絶対値[/color]になる。[br][math]cos\theta＝-cos\left(180-\theta\right),sin\theta=sin\left(180-\theta\right),tan\theta=-tan\left(180-\theta\right)[/math][br][b][u]◯＋△＝180（度）なら　sin◯＝sin△, cos◯＋cos△＝０[br][/u]　[/b][br][color=#0000ff]（例）値が計算できるもの。[br][/color] cos120°=-cos60°=-[math]\frac{1}{2}[/math],sin120°=sin60°=[math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math],tan120°=-tan60°=[math]-\sqrt{3}[/math]。[br] cos150°=-cos30°=[math]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/math],sin150°=sin30°=[math]\frac{1}{2}[/math],tan150°=-tan30°=[math]-\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]。[br]-tan120°+2sin150°＝-(-tan60°)+2(sin30°)=√3+2(1/2)=√3+1[br][color=#0000ff][br] (例）数式として置き換えられるもの[/color][br]cos160°＝−cos20°,sin160°＝sin20°,tan160°＝−tan20°。[br][br][color=#0000ff]（例）[color=#0000ff]角度θがわからなくても、直角三角形の３辺の長さから決まる例。[/color][br][/color]θが90°と180°の間で、sinθ＝3/5のときのcosθ、tanθは？[br]単位円周（半径１の円周）上の動点Pのy座標を3/5とする。[br] 180-θのときのｙ座標も3/5。[br]x座標は直角三角形の残りの辺の長さで1-(3/5)[sup]2[/sup]=16/25の平方で4/5[br]だから、cos(180-θ)=4/5。cosθ=-4/5。tanθ=-3/4。[br] [br][b][size=150]＜Pが軸上の三角比＞[/size][/b][br]θが0°のときは、再定義により、OP=OA=(r,0)となるから、[br]cos90°=1、sin90°=0、tan90°＝0/1=0となる。[br]θが90°のときは、再定義により、OP=OB=(0,r)となるから、[br]cos90°=0、sin90°=1、tan90°＝無限大となる。[br]θが180°のときは、再定義により、OP=OC=(-r,0)となるから、[br]cos90°=-1、sin90°=1、tan90°＝0/-1=0となる。[br][br][b][size=150]＜θとθ＋90の三角比＞[/size][/b][br]・θが90°未満のとき、α＝θ＋90°となる角AOP’を作る。[br]直角三角形を90°回転移動することと同じで、合同に目をつける。[br]余弦は符号に注意する。[br][b][size=150][color=#0000ff]鈍角は90引いて鋭角にし、sinとcosが入れ替える。cos鈍角はマイナス。[br][/color][/size][/b][br][math]cos\left(\theta+90\right)=-sin\theta,sin\left(\theta+90\right)=cos\theta,tan\left(\theta+90\right)=-\frac{1}{tan\left(\theta\right)}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]cos135°=-sin45°, sin135°=cos45°,tan135°=-1/tan45°[br]cos100=-sin10,sin100=cos10,tan100=-1/tan10。

[size=150][b]＜等式の証明＞[/b][/size][br][color=#0000ff][b]単位円（半径１の円）[/b][/color]の方程式は、[color=#0000ff]三平方の定理からx[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1[sup]2[/sup][/color]となる。[br][color=#0000ff]動点Pの座標は（cosθ, sinθ)となる。[br]これを代入すると、(cos θ)[sup]2[/sup]+(sinθ)[sup]2[/sup]=1[sup] [/sup]。[b]cos[sup]2[/sup]θ+sin[sup]2[/sup]θ＝１とかく。[br][/b][/color]これは、sinとcosの置き換え式として、よく使われる。[br]cosθとsinθの絶対値は１以下である。[br]また、[color=#0000ff][b]tanθ=sinθ/cosθ[/b][/color]は、tanの定義の式でもあるが、相互の置き換えに使える。[br][color=#0000ff] （例）[br][/color]「sinθcosθ=[math]\frac{tan\theta}{1+tan^2\theta}[/math]」の証明は？[br]左辺を変形して右辺にするか、右辺を変形して左辺にする。[br]右辺の分母と分子にcosθをかけると、分子はsinθ。[br]分母はcosθ+sin[sup]2[/sup]θ/cosθ＝(cos[sup]2[/sup]θ＋sin[sup]2[/sup]θ)/cosθ=1/cosθ。[br]右辺はsinθ/(1/cosθ)=sinθcosθ。[br][br][b][size=150]＜三角方程式＞[/size][/b][br]θが０°以上180°以下、ｐは0以上1以下、ｑは−1以上1以下、ｒは任意の実数。[br][color=#0000ff][b][size=150][u]単位円のｘ座標がcosθで正負どちらもありうる。ｙ座標がsinθで負にならない。[br][/u][/size][/b][/color]図をかいてしらべる。[br]・sinθ＝ｐとなるのは、動点のｙ座標がｐになることで、[br][color=#0000ff]90°以下の角をαとすると、180ーαも解[/color]になる。[br]・cosθ＝ｑとなるのは、ｘ座標とθは1対1に対応するので、１つに決まる。[br]・tanθ＝ｒとなるのは、原点を通る直線の傾きがｒとなるときのθ。[br]　三角比の部分をｘとかｔなどとおき、[color=#0000ff][b]θの指定によりｘやｔの定義域をはっきりさせよう[/b][/color]。[br]　そのうえで、ｘやｔの方程式や不等式、関数式やグラフから変化の特徴をつかもう。　[br]　そうすることで、三角方程式、三角不等式の[color=#0000ff][b]解や解の範囲や解の個数など[/b][/color]を調べることができるね。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]sinθ+cosθ=1/2のときのsinθcosθの値は？[br] 両辺2乗して、(cos θ)[sup]2[/sup]+(sinθ)[sup]2[/sup]=1を活用すると、1+2sinθcosθ=1/4。sinθcosθ=-3/8[br][color=#0000ff]（例)[/color]　tanθ=-2(θは90以上180°以下）のときの1/cosθの値は？[br][math]\frac{1}{cos^2θ}=\frac{cos^2θ+sin^2θ}{cos^2θ}==１＋tan^2θ=5。tanθ=-2が負だからcosθも負で\frac{1}{cosθ}=-\sqrt{5}。[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]2sin[sup]2[/sup]θ+5cosθ+1=0(θは90以上180°以下）となるθは？[br]　cosθ＝x(絶対値は1以下）とおくと、[br]　左辺＝2(1-x[sup]2[/sup])+5x+1=-2x[sup]2[/sup]+5x+3=-(2x[sup]2[/sup]-5x-3)=-(2x+1)(x-3)=0となる。[br]　x=3,-1/2<=1から、cosθ=-1/2から、cos(180-θ)=1/2 で180-θ＝60。θ＝120°