Moltiplicazione di un numero reale (moltiplicatore) per un punto (moltiplicando).[br]Omotetia (ingrandimento o rimpicciolimento): B --> A∙B (di rapporto A).[br]Caso particolare in cui il moltiplicando B' è un numero reale.

operatori di moltiplicazione e omotetie[list][*]moltiplicatore e moltiplicando: nell'espressione del prodotto [b]x•z[/b] il primo fattore [b]x[/b] è detto [b]moltiplicatore[/b] (e in questo caso è reale) e il secondo fattore [b]z[/b] è detto [b]moltiplicando[/b]. Estenderemo successivamente la moltiplicazione al caso di moltiplicatore complesso[br] [/*][*]operatori di omotetia (moltiplicatore fisso): se si [b]fissa un numero reale x[/b], la funzione da C a C definita dalla corrispondenza [b]z[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img]x•z[/b] è detta [b][i]omotetia[/i] di [i]rapporto[/i] x[/b]. Ponendo [b]H[sub]x[/sub](z) = x•z[/b], si ottiene la notazione H[sub]x[/sub] per tale omotetia. Come fatto con le traslazioni, possiamo far agire anche le omotetie su intere figure ([i]vedi la figura qui a sinistra[/i])[br] [/*][*]composizione di omotetie: in maniera analoga a quanto accade per la composizione di traslazioni, l'[b]omotetia composta H[sub]x[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]H[sub]y[/sub][/b]  è tale che:[br]     [b](H[sub]x[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]H[sub]y[/sub])(z) = H[sub]x[/sub](H[sub]y[/sub](z)) = x(yz) = (xy)z = H[sub]xy[/sub](z)[/b] [br]e pertanto risulta: [b]H[sub]x[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]H[sub]y[/sub] = H[sub]xy[/sub] = H[sub]yx[/sub][/b][br] [/*][*]valgono le seguenti proprietà delle omotetie: ([i]sono dimostrabili facilmente: prova a dimostrarle[/i])[/*][/list][list][*]commutatività: dalla commutatività della moltiplicazione in R segue: [b]H[sub]x[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]H[sub]y[/sub] = H[sub]y[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]H[sub]x[/sub][/b][/*][*]associatività: la composizione di funzioni è sempre associativa: [b](f[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]g)[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]h = f[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img](g[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]h)[/b]. In particolare ciò, quindi, vale per le omotetie[/*][*]neutralità dell'omotetia identica: l'omotetia di rapporto unitario [b]H[sub]1[/sub][/b] è la funzione identità   [b]z[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img]z[/b][/*][*]invertibilità di un'omotetia non degenere: l'omotetia [b]H[sub]0[/sub][/b] è la funzione identicamente nulla   [b]z[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img]0[/b] ed è detta [b]omotetia degenere[/b]. Se x non è nullo, H[sub]x[/sub] è detta [b]non degenere[/b]; in tal caso l'omotetia [b]inversa[/b] è [b]H[sub]1/x[/sub][/b] ,   ossia: [br][b]H[sub]x[/sub][sup]-1[/sup] = H[sub]1/x[/sub][/b]   ( [i]tieni presente che (1/x)xz = x(1/x)z = z, visto che x(1/x)=1 e viste la commutatività e l'associatività[/i] )[/*][*]linearità di un'omotetia: [b]H[sub]x[/sub](z+w) = H[sub]x[/sub](z) + H[sub]x[/sub](w)[/b]   ( [i]ricorda la proprietà distributiva del moltiplicatore[/i] ) [br]e   [b]H[sub]x[/sub](r·z) = r·H[sub]x[/sub](z)[/b] (dove r[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]R)   ( [i]tieni presente l'associatività dei moltiplicatori e la commutatività  x·r = r·x[/i] ) .[br][/*][/list]