[br]Niech [math]f(x)=x^2 \ln x [/math]. Obliczymy pierwszą i drugą pochodną funkcji [math]f[/math] oraz wartości tych pochodnych w punktach [math]x_1=1[/math] i [math]x_2=e[/math].[br][br][color=#666666][i]W tym celu możemy wykorzystać następujące polecenia GeoGebry:[br][/i][/color][list][*][color=#666666][i][b]f'[/b](x), [b]f''[/b](x)[b],[/b][/i][/color][/*][*][color=#666666][i][b]f'[/b](x_0),[b] f''[/b](x_0),[/i][/color][/*][*][color=#666666][i][b]Pochodna[/b](f). [br][/i][/color][/*][/list][color=#666666][i][u]Uwaga[/u]. Polecenie[/i][/color] [color=#666666][i][b]Pochodna[/b](f,2)[/i][/color][color=#666666][i] jest równoważne zapisowi f''(x).[br][/i][/color]

a) Niech [math]f(x)=\frac{x}{\sin x+2}[/math]. Oblicz [math]f'[/math], [math]f''[/math] oraz [math]f'(0)+f''(\pi)[/math].[br]b) Niech [math]g(x)=\sqrt{x}\, \text{arctg} x[/math]. Oblicz [math]g'[/math], [math]g'''[/math] oraz [math]g'(1)+g'''(1)[/math].

Niech [math]f(x)=xe^x[/math] oraz [math]g(x)=x^2 e^x[/math]. [br]Obserwując pochodne kolejnych rzędów spróbuj odgadnąć wzór na n-tą pochodną każdej z podanych funkcji. (Formalne dowody wymagają znajomości metody indukcji matematycznej).