A fórmula de Euler asegura que un poliedro convexo cumpre sempre que:[br][math]Vértices-Arestas+Caras=2[/math][br][br]Así, que sucede se un poliedro é concavo? Cumpre ou non cumpre a fórmula de Euler? Existe algún poliedro que non a cumpra?

A resposta é que a fórmula é válida para aqueles poliedros que poden "inflarse" até converterse nunha esfera. [br][br]

Para probar a fórmula procédese por inducción partindo da esfera.[br][br]- Ao engadir unha única aresta que sae e chega a un mesmo vértice, tense que [math]V=1,A=1,C=2[/math], e por tanto cúmprese que [math]V-A+C=1-1+2=2[/math].[br][br]- Se se engade outro vértice sobre unha aresta xa existente, haberá un vértice máis e a aresta queda dividida en dúas. Co cal, o número de arestas aumenta en un, mentres que o número de caras non se ve alterado.[br]Así, por cada vértice novo hai un vértice e unha aresta máis; por tanto a conta [math]V-A+C[/math] permanece igual.[br][br]- Se se engade unha nova aresta entre dous vértices xa existentes, haberá unha aresta máis que divide a cara en dúas. Co cal, o número de caras aumenta en un, mentres que o número de vértices non se ve alterado.[br]Así, por cada aresta nova hai unha aresta e unha cara máis; por tanto a conta [math]V-A+C[/math] permanece igual.[br][br]En calquera caso, a fórmula [math]V-A+C=2[/math] sempre é certa porque con estes pasos podemos recrear calquera división da esfera en caras mediante vértices e arestas.

Por tanto, que debe ocorrer para que esa fórmula NON sexa válida? Pois que o poliedro debe ter algún buraco. Nese caso a conta de [math]V-A+C[/math] sofre unha "perda". Vexamos o porqué.[br][br]Ao facer un buraco nunha cara, o resultado NON é un polígono, así que xa non podemos contala coma unha soa cara senón que temos que considerar que é a unión de varias.

Vemos na imaxe da esquerda que a cara sen buracos cumpre que [math]V-A+C=4-4+1=1[/math], é dicir que "aporta" 1 na conta de [math]V-A+C[/math].[br][i][size=85](ollo, non "aporta" o 2 da fórmula porque na imaxe só consideramos un polígono, para termos un poliedro habería que "pechalo")[/size][/i][br][br]Unha vez feito o buraco e reconsiderándo a figura como unión de varios polígonos, na imaxe da dereita vese que o reconto é [math]V-A+C=4-12+8=0[/math]. É dicir, na conta de [math]V-A+C[/math] "perdeuse" 1.[br][br]Como no poliedro cada buraco afecta a dúas caras, unha de entrada e outra de saída, con cada buraco que se fai no poliedro "pérdense" 2 na conta total. E de aí que a fórmula para un poliedro con buracos adopte este outro aspecto:[br][br][math]V-A+C=2-2\cdot nºburacos[/math]

A miña gratitude a Javier Cayetano Rodríguez, pois [url=https://www.geogebra.org/m/R5p8ZFjk]desta súa aplicación[/url] saquei a idea.