[justify] Wilfred Gottfried [b]Leibniz [/b](1646-1716), en su estudio del Cálculo Infinitesimal, demostró que curvas que no habían podido adquirir hasta ese momento una expresión analítica, como las denominadas [i]curvas mecánicas[/i] de Viète y Descartes, podían adquirirla a partir de sus métodos analíticos y su notación. Por ejemplo, dio la primera ecuación compacta de la cicloide. Leibniz trató la curvatura, definió el concepto de la circunferencia osculatriz (mal llamada [i]círculo osculador[/i]) y desarrolló en buena parte la teoría de envolventes. [/justify]

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[justify] Es bien sabido que la trayectoria recta es la que minimiza la distancia (euclídea) entre dos puntos del espacio o del plano; sin embargo, ¿es esta trayectoria la que minimiza el tiempo que tarda una partícula en ir entre dichos dos puntos?[br] Una [b]curva braquistócrona[/b] (gr. βράχιστος [i]brachistos[/i] 'el más corto', χρόνος [i]chronos[/i] 'intervalo de tiempo'), o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. En la solución del problema intervinieron, entre otros, Johann y Jakob Bernoulli, Leibniz, L'Hôptial y Tschirnhaus. Finalmente, el 24 de enero de 1697, [b]Newton [/b]resolvió el problema de la braquistócrona (en lo que fue el primer resultado en el [i]cálculo de variaciones --[/i]rama de la matemática consistente[i] [/i]en buscar extremos relativos de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional[i]--[/i]): la cicloide daba la solución.[br] Dados dos puntos [i]A[/i] y [i]B[/i], con [i]A[/i] a una elevación mayor que [i]B[/i], existe solo una curva cicloide con la concavidad hacia arriba que pasa por [i]A[/i] con pendiente infinita ([i]dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo[/i]), también pasa por [i]B[/i] y no posee puntos máximos entre [i]A[/i] y [i]B[/i]. Esta particular cicloide invertida es la curva braquistócrona. La curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.[br]No obstante, si al cuerpo se le da una velocidad inicial en [i]A[/i], o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita.[/justify]

En la época de Christiaan [b]Huygens[/b], siglo XVII, no existían métodos adecuados para medir el tiempo correctamente. Así que Huygens quería construir un instrumento para ello, un reloj (que podría colocarse en ayuntamientos, torres, iglesias...). Pensó en colocar una clavija o tornillo a modo de sensor justo en el medio de una trayectoria plana finita con objeto de que cada vez que pasara un péndulo por encima, saltara el segundero de un reloj. Así irían avanzando las manecillas del reloj. Sin embargo, esto presenta un dificultad: al lanzar el péndulo inicialmente con una cierta amplitud A se va perdiendo energía cinética debido a la fuerza de rozamiento con el aire (en condiciones ideales, si únicamente existiera en el sistema de fuerzas la componente debida al peso, el péndulo siempre tendría la misma amplitud A en cada oscilación y tardaría el mismo tiempo en recorrerla). Por tanto, la amplitud va disminuyendo en cada oscilación, lo que podría hacer que el péndulo tardara cada vez menos en alcanzar el sensor, esto es, podría provocar que el segundero se fuese adelantando en cada oscilación. No se mediría bien el tiempo. [br] Para solventar esta dificultad Huygens no podía evitar que la amplitud de cada oscilación del péndulo fuera menor cada vez, pero lo que sí podía hacer era saber qué forma debía tener la trayectoria para que el péndulo, independientemente de la amplitud de cada oscilación, tardase el mismo tiempo en llegar al sensor. Es decir, la trayectoria había de tener la forma de la curva tautócrona (también llamada isócrona), que es un arco de cicloide invertido. [br] La idea de Huygens era magnífica, pero originaba un nuevo escollo: hacer que el péndulo recorriera la trayectoria de un arco de cicloide invertido. No obstante, Huygens consiguió probar que la evoluta de una cicloide es una traslación de la misma cicloide. Así que haciendo que el hilo o soporte del péndulo adopte inicialmente la forma de la evoluta se consigue que el péndulo recorra la trayectoria de su evolvente, la cicloide. [br] De este modo, Huygens construyó un reloj que marcaba bien los avances del segundero, llamado [b]reloj de péndulo[/b].