[url=https://www.geogebra.org/m/upUZg79r]Allgemeine Version R[sup]n[/sup] [/url][math]\nearrow[/math][br][br]Elementarmatrizen Ex[br]Ex(a,b,c): Addiere c*Zeile b zu Zeile a ===> Multiplikation von Links[br]Ex(a,b,c): Addiere c*Spalte a zu Spalte b ===> Multiplikation von Rechts[br][br][b]Charakteristisches Polynom |A - λ E|=0[/b][br][br][i]4: (A - λ Identity(n))[/i][br]>[math]\left(\begin{array}{rrr}-\lambda+ 6&2&2\\2&-\lambda + 3&-4\\2&-4&-\lambda + 3\\\end{array}\right)[/math][br]Determinanten-Berechnung (bringe [4] auf untere/obere Dreiecksmatrix) z.B[br][table][tr][td][i][size=85]Ex(2,3,1) [b](A - λ*Identity(n))[/b]Ex(2,3,-1)Ex(1,2,2/(λ-6))[/size][/i] ODER[br][br][math]\small \left(\begin{array}{rrr}-\lambda+ 6&0&0\\4&\frac{-\lambda^{2} + 5 \; \ell + 14}{\lambda- 6}&0\\2&\frac{-4 \; \lambda+ 28}{\lambda- 6}&-\lambda+ 7\\\end{array}\right)[/math][br][/td][td][size=85][i]Ex(3,2,4(-1)/(λ-6))Ex(3,1,-2/(6-λ))Ex(2,3,-1)[b] (A - λ*Identity(n))[/b][/i][br][/size][br][math]\small \left(\begin{array}{rrr}-\lambda+ 6&2&2\\0&-\lambda+ 7&\ell - 7\\0&0&\frac{-\lambda^{2} + 5 \; \ell + 14}{\lambda- 6}\\\end{array}\right)[/math][br][/td][/tr][/table][i]5: charPolyn:=Determinant(A - λ Identity(n))[/i][br]> [math]\large charPolyn \, := \, -\lambda^{3} + 12 \; \lambda^{2} - 21 \; \lambda- 98[/math]=-(λ + 2) (λ - 7)²[br][br]Nullstellen des char. Polynoms definieren die Eigenwerte [br][br][i]6: Eigenwerte:=CSolutions(charPolyn,λ)[/i][br]> [math]\large Eigenwerte \, := \, \left\{ -2, 7 \right\} [/math][br][br]Aus [4] ===> Eigenwerte = -2 7 7 (algebraische Vielfachheit des EW 7 ist 2: doppelte Nullstelle)[br]8: Vergleiche die geometrische Vielfachheit [i]n-Rang (A - λ[sub]i[/sub] E) [/i]entsprechend der Dimmension des Vektorraumes der Eigenvektoren. d.h. [br]> [math]\large DimEigenraum \, := \, \left\{ 1, 2 \right\} [/math][br][br] λ =-2 ==> DimEigenraum 1 ==> es gibt einen Eigenvektor (Basis)[br] λ = 7 ==> DimEigenraum 2 ==> es gibt zwei Eigenvektoren (Basis)[br][br][b]Minimal-Polynom χ[sub]{A}[/sub] [/b][br][br]Faktoren ( A - λ E) ergeben Nullmatrix[br][math]\small \chi_{A}(\lambda) \, := \, \left(\begin{array}{rrr}6&2&2\\2&3&-4\\2&-4&3\\ \end{array}\right) - \lambda \; Identity \left(3 \right) \\ min \, := \, \chi_{A}\left(Eigenwerte\left( 1 \right)\right) \; \chi_{A} \left(Eigenwerte\left( 2 \right) \right) = 0\\MinimalPolynom:= -\left(\lambda + 2 \right) \; \left(\lambda - 7 \right)[/math]

[b]Ermittlung der[/b][b] Eigenvektoren[br][br][/b]Der zum Eigenwert λ[sub]i[/sub] gehörende Eigenvektor EV[sub]i[/sub] ist Lösung der Gleichung ( A - λ[sub]i[/sub] E ) X[sub]i[/sub] = 0.[br]Aus technischen Gründen wird in folg. Gleichungen das Gleichheitszeichen nicht geschrieben [size=85](=0 unterdrückt)[/size].[br]Im allgemeinen Fall wären drei verschiedene Eigenwerte möglich, für die die Gleichung zu untersuchen wäre:[br][br][table][tr][td][math]\lambda_1[/math]=-2[/td][td][math]\lambda_2[/math]=7[/td][td][math]\lambda_3[/math][/td][/tr][tr][td][i]10: [/i][size=85][i]l1:=(A-[color=#0000ff]Eigenwerte(1) [/color]Identity(n)) X[/i][br][/size]>[math]l1 \, := \left\{\begin{array}{r}8 \; x + 2 \; y + 2 \; z\\2 \; x + 5 \; y - 4 \; z\\2 \; x - 4 \; y + 5 \; z\\\end{array}\right\} [/math][/td][td][i]13: [size=85]l2:=[color=#0000ff](A-Eigenwerte(2) [/color]Identity(n)) X[/size] [/i][br]>[math]l2 \, := \, \left\{\begin{array}{r}-x + 2 \; y + 2 \; z\\2 \; x - 4 \; y - 4 \; z\\2 \; x - 4 \; y - 4 \; z\\\end{array}\right\} [/math][br][/td][td][i]16: [size=85]l3:=[color=#0000ff](A-Eigenwerte(3)[/color] Identity(n)) X[/size][/i][br]>[math]l3 \, := \, \left\{ ? \right\} [/math][br][size=85]in diesem Fall gibt es nur 2 Eigenwerte, [br]der vorgesehene Rechenschritt ergibt {} [/size][br][/td][/tr][tr][td][i]11: [size=85]Aλ1:=Solutions( I1 , X )[/size][/i][br]>[math]A\lambda1 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{2} \; z&z&z\\\end{array}\right)[/math][br][/td][td][i]14: [size=85]Aλ2:=Solutions( I2 , X )[/size][/i][br]>[math]A\lambda2 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}2 \; y + 2 \; z&y&z\\\end{array}\right)[/math][br][br][/td][td][i]17: [size=85]Aλ3:=Solutions( I3 , X )[/size][/i][br]>[math]A\lambda3 \, := \, \left\{ \right\}[/math][br][br][/td][/tr][tr][td]12:[br]> [math]EV1 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{2}&1&1\\\end{array}\right)[/math][/td][td]15:[br]> [math]EV2 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}2&1&0\\2&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][td]18:[br]> [math]EV3 \, := \, \left\{ \right\}[/math][br][br][/td][/tr][/table] [br][10,13,16] l1, l2, l3 sind homogene LGS: [br]für eine nicht triviale Lösung muss mind. eine der Variablen unbestimmt bleiben. [br]===> [11] Aλ1: z = z ===> z bleibt unbestimmt , [br]===> [14] Aλ2: y = y, z = z ===> y,z bleiben unbestimmt [br]===> die Zeilen [12,15,17] sind deshalb längere Abhandlungen, weil alle 3 Variablen untersucht werden, um die unbestimmten Variablen zu identifizieren, die dann wechselweise auf 1/0 gesetzt werden. Die gefunden Eigenvektoren EV1, EV2, EV3 setze ich dann zur Transformationsmatrix T für die Jordanmatrix D zusammen:[br][br][table][tr][td][i]19: T:=Transpose(Join(EV1,EV2,EV3)) ===>[/i][br]>[math]T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{2}&2&2\\1&1&0\\1&0&1\\\end{array}\right)[/math][br][/td][td][i]20: D:=T^(-1) A*T[/i][br][br]>[math]D \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&7&0\\0&0&7\\\end{array}\right)[/math][br][/td][/tr][/table][br]

[br][color=#cc0000]Eine n×n-Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes von A mit seiner algebraischen Vielfachheit übereinstimmt. [br][/color][color=#980000]Eine n×n-Matrix A heißt [b]diagonalisierbar[/b], wenn es eine invertierbare n×n-Matrix T gibt, so dass T[sup]−1[/sup]A T =D eine Diagonalmatrix ist. [br]Eine n×n-Matrix A heißt [b]orthogonal[/b], wenn A A[sup]T[/sup]=A[sup]T[/sup]A=E[sub]n[/sub] ist, d.h. wenn A[sup]−1[/sup]=A[sup]T[/sup]. [br][/color][color=#980000]Sei A eine orthogonale Matrix. Dann bilden die Spaltenvektoren von A eine Orthonormalbasis des Rn. Die Zeilenvektoren von A bilden ebenfalls eine Orthonormalbasis des Rn. [br][/color][br][url=https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/mod/page/view.php?id=28866]MatheMaterialien[/url][math]\nearrow[/math] (moodle.ruhr-uni-bochum.de)[br][br][br]Für reelle Matrizen gilt:[br][list][*]Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar D:=T^t A T[br][/*][/list][list][*]Jede symmetrische Matrix ist orthogonal diagonalisierbar[br][/*][/list][list][*]Jede symmetrische Matrix hat einen Eigenwert[br][/*][/list][list][*]Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.[br][/*][/list][list][*]Eine symmetrische n×n-Matrix mit λ≠μ zwei verschiedenen Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren v⃗  und w⃗ . [br]Dann sind v⃗  und w⃗  orthogonal zueinander, das heißt, ihr Skalarprodukt ist v⃗ ⋅w⃗ =0 [/*][/list][br]Eine quadratische Matrix A heißt[br][list][*]positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind,[br][/*][/list][list][*]positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,[br][/*][/list][list][*]negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind,[br][/*][/list][list][*]negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind,[br][/*][/list][list][*]indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.[/*][/list][br][br]Beispiele[br]EW 1.1.1/1-2[math]\sqrt{2}[/math].1.1/1+2[math]\sqrt{2}[/math].1.1 A:= {{1, 2, 0}, {2, 1, 2}, {0, 2, 1}}[br]EW 2.1.1/3.2.1 A:={{3, 1, 1}, {-2, 2, 0}, {2, 1, 3}}[br]EW0.2.1/1.1.2 A:= {{0, 1,-1}, {1, 0, 1}, {1, -1, 2}}[br]