Sejam, [math]\alpha[/math] um plano associado a um sistema de coordenadas cartesianas [math]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/math], um ponto F, uma reta r denominada diretriz, o lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math] é denominado parábola.

Seja [math]p[/math] uma constante real diferente de zero. Dado um ponto [math]F=\left(0,p\right)[/math], a reta (neste caso, horizontal) [math]r:y+p=0[/math], devemos determinar a equação das parábolas [math]\rho[/math], ou seja, o lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math].[br][br][math]d\left(P,F\right)=\sqrt{x^2+\left(y-p\right)^2}[/math] e [math]d\left(P,r\right)=y+p[/math][br][br][math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\sqrt{x^2+\left(y-p\right)^2}=y+p[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(\sqrt{x^2+\left(y-p\right)^2}\right)^2[/math][math]=[/math][math]\left(y+p\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math][br][math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+\left(y-p\right)^2=\left(y+p\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math][br][math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2=y^2-y^2+2py+2py+p^2-p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2=4py[/math][br][br]A equação da parábola é [math]\rho:x^2=4py[/math] com [math]p\ne0[/math][br][br]Elementos:[br][br]Parâmetro: [math]p[/math][br]Foco: [math]F=\left(0,p\right)[/math][br]Vértice: [math]V=\left(0,0\right)[/math][br]Diretriz: a reta horizontal de equação [math]r:y+p=0[/math][br]Eixo Focal: a reta vertical de equação [math]f:x=0[/math] [br]Latus Rectum: [math]LR=|4p|[/math][br]Lugar geométrico: pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] do plano cartesiano [math]x0y[/math] tais que [math]x^2=4py[/math] com [math]p\ne0[/math] [br][br]Condições:[br][br]1 - Se [math]p>0[/math] a concavidade da parábola será voltada para cima.[br]2 - Se [math]p<0[/math] a concavidade da parábola será voltada para baixo.[br]

Seja [math]p[/math] uma constante real diferente de zero. Dado um ponto [math]F=\left(p,0\right)[/math], uma reta (neste caso vertical) [math]r:x+p=0[/math] devemos determinar a equação das parábolas [math]\rho[/math], ou seja, o lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math].[br][br][math]d\left(P,F\right)=\sqrt{\left(x-p\right)^2+y^2}[/math] e [math]d\left(P,d\right)=x+p[/math][br][br][math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\sqrt{\left(x-p\right)^2+y^2}=x+p[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(\sqrt{\left(x-p\right)^2+y^2}\right)^2=\left(x+p\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math][br][math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-p\right)^2+y^2=\left(x+p\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [br][math]\Longrightarrow[/math] [math]y^2=x^2-x^2+2px+2px+p^2-p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]y^2=4px[/math] [br][br]A equação da parábola é [math]\rho:y^2=4px[/math] com [math]p\ne0[/math] [br][br]Elementos:[br][br]Parâmetro: p[br]Foco: [math]F=\left(p,0\right)[/math] [br]Vértice: [math]V=\left(0,0\right)[/math][br]Diretriz: reta vertical de equação [math]r:x+p=0[/math][br]Eixo Focal: reta horizontal de equação [math]f:y=0[/math][br]Latus Rectum: [math]LR=|4p|[/math][br]Lugar geométrico: pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] do plano cartesiano [math]x0y[/math] tais que [math]y^2=4px[/math] com [math]p\ne0[/math].[br][br]Condições:[br][br]1 - Se [math]p>0[/math] a concavidade da parábola será voltada para a direita.[br]2 - Se [math]p<0[/math] a concavidade da parábola será voltada para a esquerda.

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