Die Poisson-Verteilung ist ein Grenzfall der Binomial-Verteilung:[br]Wenn die Stichprobenzahl n sehr groß ist und die Erfolgswahrscheinlichkeit p sehr gering (p<<0,5), so nähert die Poisson-Verteilung die Binomial-Verteilung an:[br][br][math]P\left(X=k\right)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}[/math][br][br]Der Parameter Lambda [math]\lambda[/math] stellt dabei den Mittelwert der Verteilung dar: [math]\lambda=n\cdot p[/math][br][br][br][br][b]Beispiele:[/b][br][br]a) [u]Besucher eines Geschäftes innerhalb eines 10-stündigen Tages: [/u]50 Besucher wurden gezählt [br][br][b]Erläuterung:[/b] Im Prinzip kann in jeder Sekunde ein Besucher das Geschäft betreten, also wäre die Stichprobengröße 10*60*60=3600 Sekunden die Anzahl der Messungen, das heißt n=3600 ist sehr groß. Die Anzahl der Besucher ist klein gegenüber der Anzahl der Stichproben. Die Wahrscheinlichkeit pro Sekunde, dass ein Besucher eintritt wäre 50/3600=0,0139 also ist p sehr klein.[br]Der Mittelwert bzw. der Parameterwert der Verteilung ist [math]\lambda=3600\cdot\left(\frac{50}{3600}\right)=50[/math] (pro 10 Stundentag)[br][br]Die Wahrscheinlichkeit, dass [b]innerhalb der selben Zeitspanne[/b] also genau 10 Besucher das Geschäft betreten, wird mit dem Ausdruck[br][math]P\left(X=10\right)=e^{-50}\frac{50^{10}}{10!}\cong5,2\cdot10^{-12}[/math][br]berrechnet (was näherungsweise einer Binomialverteilung mit n=3600, p=0,0139 und k=10 entspräche!)[br][br][br]b) [b]Anrufe bei einer Hotline[/b]: Die Anzahl der Anrufe pro Stunde bei einer Kundenhotline folgt oft einer Poisson-Verteilung, wenn die Anrufe zufällig und unabhängig voneinander eintreffen. Pro Tag (8h) treffen im Schnitt 160 Anrufe ein.[br][br][b]Erläuterung[/b]: auch hier lässt sich der Sachverhalt mit der Poisson-Verteilung modellieren. Der Parameter-wert [math]\lambda[/math] hat in diesem Beispiel den Wert 160 (pro 8h) bzw. 20 pro Stunde, wenn man die Zeitspanne eskaliert.[br][br]Die Wahrscheinlichkeit , dass innerhalb einer Stunde also genau 10 Anrufer anrufen, wird mit dem Ausdruck[br][math]P\left(X=10\right)=e^{-20}\frac{20^{10}}{10!}\approx0,006[/math][br]berrechnet.[br][br] [br][b]Erwartungswert[/b] und Varianz:[br]E(X)=[math]\lambda[/math], [br]Var(X)=[math]\lambda[/math][br][br][b]Wann wird die Poissonverteilung angewendet?[/b][br]Die Poissonverteilung wird in Situationen angewendet, bei denen Folgendes zutrifft:[list][*]Die Ereignisse sind unabhängig voneinander.[/*][*]Die Ereignisse treten mit einer konstanten Rate über die Zeit oder den Raum auf.[/*][*]Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem kleinen Intervall ist proportional zur Länge des Intervalls.[/*][*]Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Ereignisse gleichzeitig auftreten, ist vernachlässigbar.[/*][/list]

Verändere in der App oben die Schieberegler und mach dir den Sachverhalt der Annäherung klar durch die Poisson-Verteilung klar.[br]a) Für welche Wertebereiche von ist die Annäherung eher ungünstoig?[br]b) Für welche Werte von p ist die Annäherung eher ungünstig?