[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜判別式と二次関数の正負＞[br][/size][/size][/b]下に凸なとき、判別式Dが負であることと、２次関数が正（ｘ軸の上にある）は同値[br]下に凸なとき、判別式Dが０以下であることと、２次関数が０以上（ｘ軸以上）は同値[br]上に凸なとき、判別式Dが負であることと、２次関数が負（ｘ軸の下にある）は同値[br]上に凸なとき、判別式Dが０以下であることと、２次関数が０以下（ｘ軸以下）は同値[br][br]すべての実数に対してつねに正または負などとなる不等式を[color=#0000ff][b]絶対不等式[/b][/color]と呼ぶことがあります。[br][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]すべての実数ｘについて、f(x)=mx[sup]2[/sup]+6x+2m-3>0が成り立つときのｍの範囲」は？[br]m>0とD=36-8m[sup]2[/sup]+12m=-4(2m[sup]2[/sup]-3m-9)=-4(2m+3)(m-3)<0が両方成り立つから、m>3[br][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]すべての実数ｘについて、f(x)=x[sup]2[/sup]+2kx-3k+4>0が成り立つときのkの範囲」は？[br] D/4=k[sup]2[/sup]-1・(-3k+4)=k[sup]2[/sup]+3k-4=(K+4)(k-1)<0。kの範囲は-4と１の間。[br][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]すべての実数ｘについて、f(x)=(k-2)x[sup]2[/sup]+2(k-1)x+3k-5>0が成り立つときのkの範囲」は？[br]D/4=(k-1)[sup]2[/sup]-(k-2)(3k-5)=k[sup]2[/sup]-2k+1-3k[sup]2[/sup]+11k-10=-2k[sup]2[/sup]+9k-9<0　2k[sup]2[/sup]-9k+9=(2k-3)(k-3)>0から,[br]kは3/2より小か3より大で、ｘ軸から離れる。つねに正であるためには、さらに２次の係数が正。[br]k-2が正だから、kは２より大という条件が追加されるので、まとめるとkの範囲は３より大。

[size=150][b]＜異なる２解＞[br]y=f(x)=0の２解の配置[br][size=100]・ともに正[/size]　　　[/b][/size]判別式Dが正、ｙ切片f(0)が正、　　軸ｘ=aが正。[br][size=150][size=100][b][size=100]・[/size][/b][b]ともにpより大　[/b][/size][size=100]判別式Dが正、x=p切片f(p)が正、　軸ｘ=aがpより大。[/size][br][/size][b]・ともに負　　　 [/b]判別式Dが正、ｙ切片f(0)が正、　　軸のｘが負。[br][size=100][b][size=100]・[/size][/b][b]ともにpより小　[/b][/size][size=100]判別式Dが正、x=p切片f(p)が正、　軸ｘ=aがDより小。[/size]　[br][b]・１つ正１つ負[/b]　 [color=#0000ff]ｙ切片f(0)が負だけでよい。[br][/color][color=#444444] (理由) ｙ切片f(0)=c<0 でa>0ならD=b[sup]2[/sup]-4ac＞０だから[br][/color][b]・２解の間にｘ=ｐ[/b][b]　x=p切片f(p)が負だけでよい。[br][/b] (理由) ｙ切片f(0)=c<0 でa>0ならD=b[sup]2[/sup]-4ac＞０だから[br][b]・２解ｐ,ｑと0,1,2が0,ｐ,1,ｑ,2の順に並ぶ　[/b]f(0),f(1),f(2)の順に正、負、正となる。[br]（理由）中間値の定理からfの正負の変化の途中で１回は交わるから。[br][color=#0000ff]（例）[br]「[/color]f(x)=x[sup]2[/sup]-ax-a+8=0が異なる２つの正の解をもつaの範囲」は？[br]D=a[sup]2[/sup]+4a-32>0とf(0)=-a+8>0と軸のx=a/2>0がすべて成り立つから、aは４と８の間。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br][color=#0000ff]「[/color]f(x)=x[sup]2[/sup]-2ax-a+2=0が正負の解を１つずつもつaの範囲」は？[br]ｙ切片f(0)=-a+2<0だから、a>2。

解の範囲指定する問題では、[color=#0000ff][b]関数値の正負、関数値の積の正負[/b][/color]が重要になる。[br]２次方程式y=f(x)=0[br]・解の１つだけがaとbの間にあるとしたら、[color=#0000ff][b]f(a)とf(b)は異符号[/b][/color]だから、[b]積が負[/b]になる。[br]・解の２つがaとbの間にあるとしたら、[color=#0000ff][b]f(a)とf(b)は同符号[/b][/color]だから、[b]積で正[/b]になる。[br]　さらに、判別式D>0で軸が範囲内にある。[br]・解が１つもaとbの間にないのは、解が０個か、解があり[b][color=#0000ff]軸が範囲外でf(a)f(b)が正または０[/color][/b]。[br][color=#0000ff][b]　（解がx=aはちょうどaなので、aとbの間ではないので、注意！）[/b][br]（例）[/color][br]「２次方程式ｆ(x)=x[sup]2[/sup]+(a-1)x-a[sup]2[/sup]+2=0解が-2と0の間と0と1の間に1つずつ入るaの範囲」は？[br]下に凸の関数なので[b]f(-2),f(0),f(1)の順に＋ー＋。[/b][br]f(-2)=4+(a-1)(-2) - a[sup]2[/sup]+2=-a[sup]2 [/sup]-2a+8=-(a[sup]2 [/sup]+2a-8)=-(a+4)(a-2)>0 (a+4)(a-2)<0 aは-4と2の間。範囲A[br]f(0)= - a[sup]2[/sup]+2=-(a[sup]2 [/sup]-2)=-(a+√2)(a-√2)<0 (a+√2)(a-√2)>0　aは-√2より小か、√2より大。範囲B[br]f(1)=1+(a-1) - a[sup]2[/sup]+2=-a[sup]2 [/sup]+a+2=-(a[sup]2 [/sup]-a-2)=-(a+1)(a-2)>0 (a+1)(a-2)<0 aは-1と２の間。範囲C[br]範囲A,B,Cの共通範囲はaは√2と２の間。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「２次方程式ｆ(x)=x[sup]2[/sup]+2ax-2a+3=0解がすべて-2と1の間入るaの範囲」は？[br]f(1)=1+2a-2a+3=4>0だから、f(-2)=4-4a-2a+3=-6a+7>0で a<7/6。範囲A[br]解が重複する場合も含めてD/4=a[sup]2[/sup]+2a-3=(a+3)(a-1)>=0で、aは-3以下か１以上。範囲B[br]念のために、軸x=-aが-2と1の範囲にあるか、aは２と−１の間。範囲C[br]範囲A,B,Cの共通範囲はaは1以上7/6より小。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「２次方程式ｆ(x)=x[sup]2[/sup]-2ax+a+2=0解が少なくとも１つ1と3の間入るaの範囲」は？[br]余事象は１つも１と３の間に解がないとき。[br]・解なしはD/4=a[sup]2[/sup]-a-2=(a-2)(a-1)<0から、aは１と２の間。範囲A[br]・解あり（aが１と２の間でない）のときは、軸x=aが1と３の間になく、際の関数値の積は正。[br]f(1)f(3)=(-a+3)(-5a+11)=(a-3)(5a-11)>0で、aは11/5以下か3以上が追加される。[br]まとめると、aは１より小さいか３以上。範囲B[br]範囲Aまたは範囲Bは、aの範囲が２より小さいか３以上。範囲C[br]範囲Cの補集合は、aの範囲は2以上３より小。