地図の数学
測量事務所に勤めるお母さんが、三角比のことを教えて欲しいとやって来た。 三角関数の正弦定理や余弦定理も教えて欲しいと言うので、初めて試みてみた。 教えていると、こちらも気づくことがある。 楽しい体験だった。 測量は比を使えば大体わかる。 地図はこの比を使って縮小したものだ。 ところが、大きくなると、球面を平面に変換しなければならなくなる。 球面をどうしたら平面に写すことができるか。 つまり地図の理論であり、これが次の課題になった。 いろいろ調べてみると、大航海時代に海図が必要となったことからの要請。 球面上で最短コースは大円。 では、羅針盤を使ってどう航海したら最短コースがとれるのか？ 実はこれは大変難しい。 そこで考え出されたのが、角度で進む方法。 これがメルカトル図法の発明につながる。 では、同じ角度で球面を進むとどのようなコースをたどるのだろうか？
Table of Contents
- 地球儀
- 経線の作図
- 経線と緯線の作図
- Earth (basic model)
- メルカトル図法
- 球面上の等角らせん
- 球面上の二種類の等角らせん
- メルカトル図法の作り方
- メルカトル図法（角度を同じにするための補正）
- メルカトル図法（地球儀→地図）
- メルカトル図法から地球儀へ
- Copy of Plotter für parametrisierte Oberflächen
- 等角写像
- 立体射影の等角写像
- 地図を作ろう
- 正積図法
- 舟形多円錐図法
- 地球儀を作るために
- サンソン図法
- モルワイデ図法
経線の作図
経線を作図してみよう。
緯度１度の長さ
「地図を作った人びと」という本がある。[br]この中に、ヨーロッパ人が世界に乗り出していった経緯が書いてある。[br][br]幾つか理由があるのだけど、それは「地球を知りたい」という情熱。[br]例えば17世紀にニュートンが地球は回転楕円体をしているのではないかという仮説を出した。[br]それを確かめるには、緯度一度の長さを測らなければならない。[br]そういいう科学上の探求で、植民地を増やしていった面もあるという。[br][br]緯度は北極星の高度から求めることができる。[br]では経度はどうやって求めたら良いのだろうか？[br]
球面上の等角らせん
地球面上で、羅針盤を一定の角度にして進む航路（等角航路）はどういう曲線か？ ちなみに大円航路と等角航路は全く異なる。角度は実測したもので近似値。
大航海時代の等角航路
この時代の航海で、目的地に行くために一番簡単な方法は、[br]北極に対して一定の角度で進む方法である。[br]羅針盤を見て角度を変えないように進めばいい。[br][br]これは、昆虫が月あかりに対して進路を決めているのと同じ。[br]昆虫は近いあかりだと、等角らせんを描きながらそのあかりに到達する。[br]この船も等角らせんを描きながらやがて北極に到達する。[br][br]この等角らせんを描くのにとても苦労した。[br]λ=π/2-exp(aθ)[br][br]x=cosλ・cosθ[br]y=cosλ・sinθ[br]z=sinλ[br][br]これはCと結んだ直線が等角なので、経線との角度が等角の場合を考慮する必要がある。[br]それは、[br]λ=sin⁻¹(tanh(t))[br][br]x=cosλ・cos(t 角度)[br]y=cosλ・sin(t 角度)[br]z=sinλ[br][br]となる。[br]
上の式の等角らせんの角度。上の図と違います。
立体射影の等角写像
Ｂからｌを通る直線（平面）へのＣの射影は等角になることの初等的な証明。
舟形多円錐図法
青い円を球だとします。[br]この船形を糊付けしていくと地球儀ができます。[br]船形の曲線はcosカーブです。[br]その理由は⇒[url=http://hamaguri.sakura.ne.jp/funagatasin.html]サインカーブになるわけ[/url]