In questo capitolo presentiamo delle trasformazioni di coordinate che portano a delle nuove curve che presentano delle simmetrie rispetto all'originale, cioè risultano essere l'originale "specchiata" in qualche modo. Si tratta di trasformazioni puramente geometriche e matematiche, che operano sulla forma della curva; attribuire a tali trasformazioni dei significati "concreti" sul fenomeno rappresentato dalla funzione, come nel caso della traslazione, è più difficile, anche se qualche volta possibile. [br][br]Conoscere ed applicare le simmetrie alle funzioni ci permetterà di introdurre le funzioni simmetriche, cioè quelle che coincidono con le loro "specchiate".[br][br]Iniziamo a vedere nella seguente animazione le due simmetrie rispetto ad ognuno degli assi cartesiani.[br]

[size=150][color=#ff0000]FACCIAMO IL PUNTO[br][/color][/size]Nell'animazione abbiamo interrotto due tipi di sostituzioni, che portano a due rispettivi tipi di simmetrie. [color=#0000ff]La sostituzione[/color][br][br][math]\large{\begin{cases}x\rightarrow\textcolor{blue}{x}\\y\rightarrow\textcolor{blue}{-y}\end{cases}}[/math][br][br][color=#0000ff]genera una nuova funzione simmetrica alla originale rispetto all'asse delle[/color][math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] - i risultati che erano negativi diventano positivi e viceversa.[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{g(\textcolor{black}{x})}=\textcolor{blue}{-}f(x)}[/math][br][br][color=#ff0000]La sostituzione[/color][br][br][math]\large{\begin{cases}x\rightarrow\textcolor{red}{-x}\\y\rightarrow\textcolor{red}{y}\end{cases}}[/math][br][br][color=#ff0000]genera una nuova funzione simmetrica alla originale rispetto all'asse delle[/color][color=#0000ff] [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math][/color] - il risultato che la funzione originale ottiene con l'input [math]\large{x}[/math], la nuova funzione lo ottiene in [math]\large{-x}[/math].[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{g(-\textcolor{black}{x})}=f(x)}[/math][br][br][color=#ff0000]Se una funzione COINCIDE con la propria simmetrica alla originale rispetto all'asse delle[/color][color=#0000ff] [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math][/color], cioè se ogni suo risultato per un input [math]\large{x}[/math] COINCIDE con quello ottenuto in [math]\large{-x}[/math], gode essa stessa di questa simmetria e si dice [color=#ff0000][b]PARI[/b][/color].[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{f(-\textcolor{black}{x})}=f(x)}[/math][br]

[size=85][color=#38761d]La funzione in figura è [b]PARI[/b][/color], perchè la sua curva è simmetrica rispetto all'asse [math]y[/math]: [math]f(-x_1) = f(x_1)\ \forall x_1[/math], cioè per ogni punto definito da un [i]input[/i] qualsiasi [math]x_1[/math] e dal corrispondente risultato, anche il punto "riflesso" appartiene alla curva, perché l'input "riflesso" [math]-x_1[/math] genera lo stesso risultato. [br][br]Da notare che questo è dovuto al fatto che l'espressione della funzione contiene [u]solo potenze pari[/u] di [math]x[/math] - esistono altre funzioni pari che non hanno questa caratteristica, ma sono trascendenti (non puramente algebriche). [/size][br][br][color=#0000ff]Una funzione non può essere simmetrica rispetto all'asse delle[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math], perché per lo stesso input dovrebbe avere un certo risultato ed anche il suo opposto - ma una funzione può avere un solo risultato alla volta.[br]

[size=85][color=#0000ff]La curva della circonferenza in figura è simmetrica rispetto all'asse delle[/color] [math]x[/math]. Non può essere una funzione, che deve garantire l'unicità del risultato, mentre in questo caso per simmetria per ogni valore di [i]input[/i] - in figura è mostrato l'esempio [math]x=4[/math] ha un risultato [i]ed anche il suo opposto[/i]. [/size][br][br]Nella prossima animazione vedremo che combinando le due simmetrie rispetto agli assi se ne ottiene un'altra, rispetto all'origine degli assi.