[b]La formula di Cardano fornisce la soluzione delle equazioni di 3° grado ridotte. [br][br][/b][math]x^3+px+q=0[/math][br][br]e la formula per determinare la soluzione è:[br][br][math]x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}[/math][br][br]Come visto nella lezione 1, per alcune equazioni ([b]le irriducibili)[/b], per esempio [math]x^3-15x-4=0[/math] , la formula produce radici quadrate di numeri negativi.
Ricapitolando: [br][list][*]siamo partiti dalla equazione di 3° grado in [b]forma ridotta[/b]:[br][br][/*][/list][math]x^3-15x-4=0[/math] [br][br][list][*]La soluzione trovata tramite la [b]formula di Cardano[/b] da come risultato:[/*][/list][math]x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}[/math] , con [math]DELTA<0[/math] [br][br][list][*]si osserva [b]in modo grafico [/b](ma a volte anche con semplice sostituzione) che una delle soluzioni è sicuramente [math]x_1=4[/math] e le altre due sono due valori reali [math]x_2\in\left(-4,-\frac{7}{2}\right)[/math] e [math]x_3\in\left(-\frac{1}{2},0\right)[/math][br][br][/*][*]si evince una evidente [b]contraddizione[/b][/*][/list]
Il contributo di Rafael Bombelli fu fondamentale per superare questa contraddizione. [br] [br]Egli decise di usare [b]comunque questi "numeri impossibili". [br][/b]A tale scopo definì: 1. [math]i=\sqrt{-1}\frac{ }{ }[/math] [math]i[/math], [i]unità immaginaria[/i] ; 2. [math]\sqrt{-a}=i\sqrt{a}[/math] ; 3. le operazioni tra questi numeri tramite regole precise. [br] [br]Tenendo conto di questa introduzione:[br][list][*] come puoi scrivere [math]\sqrt{-121}[/math] ovvero [math]\sqrt{-1}\cdot\sqrt{121}[/math]?[/*][*]Come diventa: [math]x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}[/math]?[br][/*][/list]
Come hai potuto constatare, la soluzione dell'equazione è : [math]x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}[/math][br][br][b]Bombelli intuì che le radici che contenevano l'unità immaginaria non erano assurde: erano uno strumento per arrivare a soluzioni reali.[br][/b]Mostrò che , nel caso dell'equazione [math]x^3-15x-4=0[/math] , manipolando quei numeri, qualla strana soluzione con [math]DELTA<0,[/math] coincideva con una delle soluzioni reali dell'equazione. [br][br]Bombelli riuscì a dimostrare che [math]\sqrt[3]{2-11i}=2-i[/math] e che [math]\sqrt[3]{2+11i}=2+i[/math][br][br][br]A te viene richiesto solo di [b]verificare[/b] quanto Bombelli dimostrò, ovvero che [math]\left(2-i\right)^3=2-11i[/math] e che [math]\left(2+i\right)^3=2+11i[/math]. Svolgi i due cubi sul tuo quaderno per verificare le due uguaglianze. [br][br]A questo punto è facile dedurre a quale delle tre soluzioni reali coincide [math]x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}[/math], soluzione di [math]x^3-15x-4=0[/math] [br][br]Scrivi la soluzione nello spazio risposta.[br]
Ora che una radice [b]reale[/b] è nota, determina le altre due radici dell'equazione [math]x^3-15x-4=0[/math][br][br]Ricorda che puoi usare il metodo di Ruffini, particolarmente agevole quando è noto uno zero del polinomio. [br]Scrivi nello spazio risposta le altre due radici dell'equazione.
[b]Il punto rivoluzionario del contributo di Bombelli fu questo: anche se un oggetto matematico sembra “assurdo”, può essere necessario per far funzionare tutto il resto.[br]Bombelli “giocò” con i numeri immaginari e scoprì la regola pratica per combinarli e ottenere i reali.[br][/b][br][br]
E così Bombelli contribuì in modo determinante ad [b]"ampliare" l'insieme dei numeri REALI[/b], ovvero aggiunse nuovi numeri , che chiameremo [b]COMPLESSI[/b] , per poter risolvere [b]"problemi" che precedentemente sembravano irrisolvibili. [/b][br][br]Esponi nello spazio risposta un breve "[b]excursus didattico" sugli insiemi numerici[/b], dai Naturali ai Complessi, ricordando che ogni ampliamento nasce da un problema che i numeri "precedenti" non riescono a risolvere. [br]