[br]Rozważmy płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math] opisane równaniami: [center][math]\pi_1:A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0[/math], [math]\pi_2:A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0.[/math][/center]Wówczas wektory: [math]n_1 =[A_1 ,B_1 ,C_1 ][/math], [math]n_2 =[A_2 ,B_2 ,C_2 ][/math] są wektorami normalnymi, odpowiednio płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math]. Wzajemne położenie podanych płaszczyzn uzależnione jest od relacji między ich wektorami normalnymi. W szczególności[br][list][*][math]\pi_1\parallel\pi_2\ \Leftrightarrow\ n_1\parallel n_2[/math],[br][/*][*][math]\pi_1\perp\pi_2\ \Leftrightarrow\ n_1\perp n_2[/math]. [br][/*][/list]Ponadto jeśli dwie płaszczyzny są równoległe, to są równe albo rozłączne. Jeśli nie są równoległe, to przecinają się wzdłuż pewnej prostej pod kątem równym kątowi między wektorami normalnymi.[br]

Płaszczyzny opisane równaniami: [center][math]\pi_1:2 x+ y- z+3=0[/math], [math]\pi_2:4 x+2 y-2 z-2=0[/math][/center]są [b]równoległe[/b] i różne.[br]Rzeczywiście. Ich wektory normalne to: [math]n_1 =[2,1 ,-1 ][/math], [math]n_2 =[4 ,2 ,-2 ][/math]. Łatwo widać, że [math]n_2=2\cdot[2,1,-1]=2n_1[/math], zatem wektory normalne są równoległe, co oznacza, że podane płaszczyzny są również równoległe. Ponadto punkt [math]P_1=(0,0,3)[/math] należy do płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i nie należy do płaszczyzny [math]\pi_2[/math], czyli płaszczyzny nie są równe.[br][br]Napisz równanie kolejnej płaszczyzny równoległej do [math]\pi_1 [/math] i [math]\pi_2 [/math].

Płaszczyzny opisane równaniami: [center][math]\pi_1:2 x+ y- z+3=0[/math], [math]\pi_2:2 x+4 z-2=0[/math],[/center]są [b]prostopadłe[/b].[br]Rzeczywiście. Ich wektory normalne to: [math]n_1 =[2,1 ,-1 ][/math], [math]n_2 =[2,0,4][/math]. Iloczyn skalarny [math]n_1\circ n_2=il_{sk}=0[/math], zatem wektory normalne są prostopadłe, co oznacza, że podane płaszczyzny są również prostopadłe. Częścią wspólną obu płaszczyzn jest prosta [math]l[/math]. [br]Prostą [math]l[/math] można wyznaczyć w Widoku Grafiki 3D korzystając z narzędzia [b]Przecięcie dwóch powierzchni[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon].