Utilizando la figura, demostrar que [math]\text{Δ}AEF\sim\text{Δ}DBF[/math], [math]\text{Δ}DEC\sim\text{Δ}ABC[/math].[br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]Primero demostremos que [math]\text{Δ}AEF\sim\text{Δ}DBF[/math].[br][br]El cuadrilátero BCEF es cíclico, por lo tanto, [math]\angle DBF+\angle CEF=180^\circ[/math] y [math]\angle AEF+\angle CEF=180^\circ[/math].[br][br]Esto implica que [math]\angle AEF=\angle DBF[/math]. Entonces, [math]\angle EFA+\angle EFH=90^\circ[/math], [math]\angle HFD+\angle DFB=90^\circ[/math]. [br][br]Notemos que [math]\angle EFA=\angle HFD[/math] así que podemos concluir que [math]\angle EFA=\angle DFB[/math]. [br][br]Entonces, por AA, [math]\text{Δ}AEF\sim\text{Δ}DBF[/math][br][br]--------------------------[br][br]Ahora, demostremos que [math]\text{Δ}DEC\sim\text{Δ}ABC[/math]. [br][br]Miremos los triángulos [math]\text{Δ}DEC[/math] y [math]\text{Δ}ABC[/math]. Ambos triángulos tienen al ángulo C en común. [br][br][math]\angle CDE+\angle EDH=90^\circ[/math] y [math]\angle HDF+\angle FDB=90^\circ[/math].[br][br]Como [math]\angle EDH=\angle HDF[/math] esto implica que [math]\angle CDE=\angle FDB[/math]. Por la primera parte: [math]\angle CDE=\angle A[/math][br][br]Entonces, por AA, [math]\text{Δ}DEC\sim\text{Δ}ABC[/math][br][br]

Dibuje una nueva versión de la previa figura, con un ángulo obtuso en A. ¿Cuál conclusión se debe alterar? [br][br][b]Respuesta[/b]: [br][br]Observemos la siguiente figura

Vemos que [math]\angle FAE=\angle BAC[/math] por lo que tenemos que [math]\text{Δ}AEF[/math] es un triángulo con un ángulo obtuso. Además [math]\angle BFD<90^\circ[/math] y [math]\angle BDF<90^\circ[/math]. De la única manera que [math]\text{Δ}AEF\sim\text{Δ}DBF[/math], necesitaríamos que [math]\text{Δ}DBF[/math] también tenga un ángulo obtuso. Esto implica que [math]\angle DBF>90^\circ[/math]. Por lo tanto, [math]\angle ABC>90^\circ[/math] pero esto contradice que [math]\angle BAC>90^\circ[/math] o si [math]\angle FBA>90^\circ[/math] esto también contradice que [math]\angle BFA=90^\circ[/math]. No es posible que [math]\text{Δ}DBF[/math] tenga un ángulo obtuso. [br][br]Ya que [math]\angle BAC>90^\circ[/math], entonces [math]\angle ABC\sim\angle DEC[/math] si [math]\text{Δ}DEC[/math] tiene un ángulo obtuso. Concluimos que [math]\text{Δ}DEC[/math] no puede tener un ángulo obtuso por contradicción. [br][br]Por lo tanto, estas conclusiones deben ser alteradas.

El ortocentro de un triángulo con un ángulo obtuso es el excentro de su triángulo órtico.[br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]Consideremos la siguiente figura:

BDAE es un cuadrilátero cíclico, ya que [math]\angle BEA=90^\circ[/math] y [math]\angle ADB=90^\circ[/math] donde [math]\angle ADB+\angle BEA=180^\circ[/math]. Como BDAE es cíclico, entonces [math]\angle BED=\angle BAD[/math]. También, [math]\angle BAD+\angle ABC=90^\circ[/math]. [br][br]Mirando a [math]\text{Δ}BED[/math], [math]\angle BED=90^\circ-\angle B[/math].[br][br]BCFE es cíclico porque [math]\angle BEC=\angle BFC=90^\circ[/math]. Por tanto, [math]\angle FEC=\angle B[/math] ya que abren el mismo arco, tal que [math]\angle FEH+\angle FEC=180^\circ[/math] y [math]\angle FEH+\angle B=90^\circ[/math].[br][br]Entonces HB es el bisector externo del ángulo FED. Similarmente, HC es el bisector externo del ángulo EFD. [br][br]Como H es el punto de intersección de las bisectrices externas HB y HC entonces el ortocentro es un excentro del triángulo órtico.

[math]\angle HAO=\left|B-C\right|[/math][br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]Asumamos que [math]B>C[/math]. Entonces [math]B-C>0[/math] y por lo tanto [math]\left|B-C\right|=B-C[/math]. [br][br]

Sea [math]\angle CAO=M[/math] y [math]\angle BAH=N[/math]. Notemos que [math]\angle ADB=90^\circ[/math]. En [math]\text{Δ}BDA[/math] vemos que [math]N+B=90^\circ\Longrightarrow N=90^\circ-B[/math]. Además, [math]B=\angle ABO+\angle OBC[/math] y [math]\text{Δ}AOB,\text{Δ}ACO\&\text{Δ}BOC[/math] son isósceles. Ahora:[br][br](i) [math]\angle ABO=\angle BAO=A-M[/math][br](ii) [math]\angle ACO=M[/math][br](iii) [math]\angle OBC=\angle OCB=C-\angle ACO=C-M[/math][br][br]Si sumamos (i) y (iii) tendremos: [math]\angle ABO+\angle OBC=B=A-M+C-M=A+C-2M=180^\circ-B-2M[/math][br]Entonces [math]2M=180^{\circ}-2B\Longrightarrow M=90^\circ-B[/math] y tenemos:[br][br][math]\angle HAO=A-M-N=A-\left(90^\circ-B\right)\left(90^\circ-B\right)=A-180^\circ+2B=A-\left(A+B+C\right)+2B=A-A-B-C+2B=B-C[/math].[br][br]¡Mueva los puntos en la figura y mire la herramienta CAS a la izquierda de la construcción para comprobar!