Es gibt, neben der Eigenschaft dass [math]f\left(x\right)=e^x[/math] die Funktion [math]g\left(x\right)=x+1[/math] berührt, weitere wichtige Eigenschaften der Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math]. Eine davon wollen wir hier untersuchen.[br]Gezeichnet ist eine Funktion der Form [math]f\left(x\right)=a^x[/math]. Ausserdem sieht man einen roten Punkt auf dem Funktionsgraphen, durch den eine Tangente an die Exponentialfunktion gezogen ist. An der Tangente ist ein Steigungsdreieck so gezeichnet, dass [math]\Delta x=1[/math] ist und demnach [math]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta y[/math] direkt die Steigung abgelesen werden kann.
[list=1][*]Verschiebe den roten Berührungspunkt und beobachte wie sich der die Steigung der Tangente verändert.[/*][*]Die angezeigte Steigung lässt sich mit Hilfe des Kästchens als y−Wert abtragen.[br]Versuche nun mit Hilfe des Schiebereglers ein a zu finden, bei dem der Funktionswert der Funktion gerade der Steigung der Tangente an diesem Ort entspricht. Welche Zahl findest du?[/*][/list]
Verschieben Sie den roten Punkt entlang dem Graphen Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math]. Welche Beobachtung machen Sie dabei?
Je weiter links der rote Punkt liegt (kleine x-Koordinate), desto flacher wird die Tangente. Je grösser die x-Koordinate wird, desto steiler wird die Tangente.
Klicken Sie auf die Checkbox "Steigung als y-Wert abtragen". Verschieben Sie nun wieder den roten Punkt. Was bewirkt diese Checkbox? Erklären Sie möglichst genau.
Für jede Position des roten Punktes wird ein Blauer Punkt gesetzt. Dabei ist die x-Koordinate vom roten und vom blauen Punkt identisch. Die y-Kooridnate vom blauen Punkt (h) entspricht jedoch der Steigung [math]m=\Delta y[/math] der Tangente am Ort des roten Punktes.
Wenn wir die blauen Punkte mit einer Funktion beschreiben wollten. Was für eine Funktion würde sich ergeben?
Verändern Sie nun die Basis [math]a[/math] der gezeichneten Exponentialfunktion und bewegen Sie den roten Punkt. Was ist anders an der blauen Kurve falls [math]a=4[/math] gegenüber der blauen Kurve für [math]a=2[/math]?[br][size=85]Hinweis: Mit Hilfe von "Reset" können alle bisherigen blauen Punkte gelöscht werden. Dies kann Helfen die Übersicht zu behalten.[/size]
Die blauen Punkte folgen immer einer Exponentialfunktion. Für [math]a=2[/math] verläuft die blaue Kurve unterhalb dem Funktionsgraphen von [math]f\left(x\right)[/math]. Für [math]a=4[/math] dagegen verlaufen die blauen Punkte überhalb dem Funktionsgraphen von [math]f\left(x\right)[/math].
Bei welchem Wert von [math]a[/math] verläuft die blaue Kurve genau auf dem Graphen von [math]f\left(x\right)[/math]?
Dies wird dann erreicht, wenn [math]a=e\approx2.718[/math]..
[list][*]Die blaue Kurve wird auch Ableitung der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] genannt. Die Ableitung ist eine wichtige Grösse um das Änderungsverhalten diverser Funktionen zu untersuchen.[/*][*]Die Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math] ist die einzige Funktion bei der die Ableitung identisch bleibt. Das heisst die Steigung der Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math] (oder die Steigung der Tangente an die Kurve) ist an jeder Stelle [math]$A\left(x|f(x)\right)$[/math] identisch mit dem Funktionswert selbst.[br][/*][/list]