Eine lineare Gleichung kann eine oder mehrere Variablen haben. Die folgenden Gleichungen sind Beispiele für lineare Gleichungen:[br][list][*][math]3\cdot x+4=10[/math] [/*][*][math]4\cdot x+0,5\cdot y+z=7[/math] [/*][*][math]\frac{1}{2}\cdot a+\frac{1}{3}\cdot b=2[/math] [/*][/list]Folgende Gleichung ist [b]keine[/b] lineare Gleichung: [math]2\cdot x-3\cdot y^2+z=9[/math], weil das [math]y[/math] eine Hochzahl, also einen Exponenten hat. Auch [math]2\cdot x\cdot y+z=3[/math] ist [b]keine[/b] lineare Gleichung. Hier werden zwei unterschiedliche Variablen mit einander multipliziert.

Wenn es mehrere lineare Gleichungen gibt, die alle die gleiche Lösung haben, dann spricht man von einem linearen Gleichungssystem:[br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x +&y+&z =& 6\\[br]3\,x -&y+&2\,z =& 7\\[br]-3\,x +&2\,y+&3\,z =& 10[br] \end{array} [/math][br]Jede der drei Gleichungen oben ergibt eine wahre Aussage, wenn [math]x=1[/math], [math]y=2[/math] und [math]z=3[/math]. Überprüfen Sie das.[br][br]Daher ist [math] \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix} [/math][br]eine [b]Lösung des oben stehenden Gleichungssystems[/b]. Sie können es ausprobieren: Alle anderen Zahlenkombinationen sind keine Lösungen.

Eine Jugendherberge kauft Betten, Stühle und Schränke bei einer Möbelfirma. Das Angebot liegt auf dem Tisch: Die Möbel für ein Einzelzimmer kosten insgesamt 170€, für ein Doppelzimmer müssen 270 € gezahlt werden und die Möblierung eines Gruppenzimmers kostet 810€.[br][list][*]In einem Einzelzimmer ist ein Bett, ein Stuhl und ein Schrank [/*][*]In einem Doppelzimmer sind zwei Betten, zwei Stühle und ein Schrank [/*][*]In einem Gruppenzimmer sind sechs Betten, sechs Stühle und drei Schränke[/*][/list][br][b]Wie viel kosten jeweils ein Bett, ein Stuhl oder ein Schrank?[/b][br][br]Dazu kann das folgende Gleichungssystem aufgestellt werden, bei dem die Variablen [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] jeweils für die unbekannten Preise stehen:[br][br][math] \begin{array}{rrrr}[br]a +&b+&c =& 170\\[br]2\,a +&2\,b+&c =& 270\\[br]6\,a +&6\,b+&3\,c =& 810[br] \end{array} [/math][br]

Die Buchstaben in einem Gleichungssystem sind unsere [color=#980000][b]Variablen[/b][/color]. Die Faktoren, die vor den Variablen stehen, heißen [color=#980000][b]Koeffizienten[/b][/color]. Die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen werden als [color=#980000][b]Absolutglieder[/b][/color] bezeichnet. [br][br]Ein [color=#980000][b]quadratisches Gleichungssystem[/b][/color] ist eines, das genau so viel Gleichungen besitzt, wie Variablen.[br][b]Es ist nur dann möglich, eine eindeutige Lösung für ein Gleichungssystem zu berechnen, wenn es mindestens genau so viel Gleichungen gibt, wie es Varaiablen gibt[/b]. Wenn es mehr Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem [color=#980000][b]überbestimmt[/b][/color]. In einem solchen Fall gibt es oft gar keine Lösung. Wenn es weniger Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem [color=#980000][b]unterbestimmt[/b][/color]. In einem solchen Fall gibt es oft unendlich viele Lösungen.[br][br]Wenn alle Absolutglieder gleich Null sind, dann spricht man von einem [color=#980000][b]homogenen Gleichungssystem[/b][/color].

Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:[br]Das Gleichungssystem[br][br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x_1 +&x_2+&x_3 =& 170\\[br]2\,x_1 +&2\,x_2+&x_3 =& 270\\[br]6\,x_1 +&6\,x_2+&3\,x_3 =& 810[br] \end{array} [/math][br]lässt sich auch schreiben, als:[br][math] \begin{pmatrix}[br]1&1&1\\2&2&1\\6&6&3[br]\end{pmatrix} [br]\cdot \vec x = \vec b[/math] mit der sogenannten [color=#980000][b]Koeffizientenmatrix[/b][/color] und den Vektoren [math] \vec x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3[br]\end{pmatrix} [/math] und [math] \vec b= \begin{pmatrix} 170\\270\\810[br]\end{pmatrix} [/math][br][br]Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die [color=#980000][b]erweiterte Koeffizientenmatrix[/b][/color]:[br][math]\left(\begin{array}{ccc|c}[br]1&1&1&170\\2&2&1&270\\6&6&3&810[br]\end{array}\right)[/math]

Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:[br]Das Gleichungssystem[br][br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x_1 +&x_2+&x_3 =& 170\\[br]2\,x_1 +&2\,x_2+&x_3 =& 270\\[br]6\,x_1 +&6\,x_2+&3\,x_3 =& 810[br] \end{array} [/math][br]lässt sich auch schreiben, als:[br][math] \begin{pmatrix}[br]1&1&1\\2&2&1\\6&6&3[br]\end{pmatrix} [br]\cdot \vec x = \vec b[/math] mit der sogenannten [color=#980000][b]Koeffizientenmatrix[/b][/color] und den Vektoren [math] \vec x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3[br]\end{pmatrix} [/math] und [math] \vec b= \begin{pmatrix} 170\\270\\810[br]\end{pmatrix} [/math][br][br]Eine Übung zum Erstellen einer Matrix-Gleichung aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: [b][url=https://www.geogebra.org/m/xpj2qgzn#material/abjp8u3d]Lösen mit inversen Matrizen[/url][/b][br][br]Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die [color=#980000][b]erweiterte Koeffizientenmatrix[/b][/color]:[br][math]\left(\begin{array}{ccc|c}[br]1&1&1&170\\2&2&1&270\\6&6&3&810[br]\end{array}\right)[/math][br][br]Eine Übung zum Erstellen von erweiterten Koeffizientenmatrizen aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: [url=https://www.geogebra.org/m/xpj2qgzn#material/eqth9rhg][b]Gleichungssysteme und Matrizen[/b][/url]