Această aplicaţie prezintă o porţiune a diagramei triunghiurilor izoperimetrice, cu perimetrul 2p.[br]În această diagramă [b]nu[/b] există două puncte p-triunghiulare corespunzătoare unor [i][b]triunghiuri oarecare congruente.[/b][/i][br]Punctul T(x,y,z) poate fi deplasat cu ajutorul mouse-lui. [br]În zona din dreapta ecranului se poate observa [math]\Delta XYZ[/math] corespunzător punctului T(x,y,z).[br]Caseta de sub triedrul drept, [i]Piramida[/i], permite vizualizarea/ascunderea:[br][list][*] tetraedrului punctelor p-triunghiulare, corespunzătoare triunghiurilor cu perimetrul mai mic sau egal cu [i]2p[/i],[/*][*] segmentului punctelor k*p-triunghiulare T[sub]k[/sub](x',y',z'), corespunzătoare triunghiurilor asemenea cu [math]\Delta XYZ[/math], cu raportul de asemănare subunitar, k. Punctul T[sub]k[/sub] (x',y',z') poate fi deplasat cu ajutorul mouse-lui. [math]\Delta X'Y'Z'[/math] poate fi vizualizat/ascuns cu ajutorul casetei [i]Triunghiuri asemenea.[/i][/*][/list][br][br]
Determinaţi coordonatele punctului G, centrul de greutate al [math]\Delta XYZ[/math], în funcţie de coordonatele vârfurilor triunghiului.
Fie M[sub]1[/sub] mijlocul laturii [XY].[br]Se pot scrie, formal, relaţiile:[br][math]M_1=\frac{X+Y}{2}[/math] (1)[br][math]G=M_1+\frac{1}{3}\left(Z-M_1\right)=\frac{2}{3}M_1+\frac{1}{3}Z[/math] (2)[br]Din (1) şi (2) se obţine [math]G=\frac{X+Y+Z}{3}[/math] (3), adică [math]x\left(G\right)=\frac{x\left(X\right)+x\left(Y\right)+x\left(Z\right)}{3}[/math] şi [math]y\left(G\right)=\frac{y\left(X\right)+y\left(Y\right)+y\left(Z\right)}{3}[/math]
Determinaţi coordonatele vârfurilor triunghiului X'Y'Z', dacă acesta are laturile respectiv paralele cu laturile triunghiului XZY şi acelaşi centru de greutate.
[i]Raportul de asemănare[/i]: [br][math]\frac{OT_k}{OT}=k\Rightarrow\frac{x\left(T_k\right)}{x\left(T\right)}=\frac{y\left(T_k\right)}{y\left(T\right)}=\frac{z\left(T_k\right)}{z\left(T\right)}=k\in\left[0,1\right][/math][br][math]X'=X+\left(1-k\right)\left(G-X\right)=kX+\left(1-k\right)G=kX+\left(1-k\right)\frac{X+Y+Z}{3}[/math] (1)[br][math]Y'=kY+\left(1-k\right)\frac{X+Y+Z}{3}[/math] (2)[br][math]Z'=kZ+\left(1-k\right)\frac{X+Y+Z}{3}[/math] (3)