Javier vive enfrente de una escuela y la calle es angosta, por lo que es habitual que al querer salir o entrar a su casa durante el día se encuentre con que hay autos estorbando parte de la entrada o apenas dejando espacio para sacar el auto.[br] Ahora tiene la oportunidad de arreglar la entrada que se encuentra algo gastada y desprolija, y quiere aprovechar y ampliar el acceso desde la calle, para que los autos dejen más espacio. Su idea es ampliarlo hasta el árbol de su vereda.[br] Con respecto a la mezcla para poner en el piso de la entrada, Javier averiguó que para cubrir un espacio de 1m x 1m x 10cm gastaría unos $12.000.[br] ¿Cuánto espacio tendría que cubrir con mezcla y cuánto tendría que gastar en ello?

1) La fotografía no se tomó de frente, sino ligeramente de lado, en ángulo, a unos 20° de la pared que divide las casas (se puede tomar como referencia que la pared del borde está alineada con el postes de luz), y a 15 metros del lugar.[br]2) Existe una diferencia de unos 25cm entre el nivel de la calle y el del suelo de la entrada, de modo que la entrada que se hará tendrá una pendiente.[br]3) La altura de la reja es de unos 2.40m.

Lo primero que vamos a hacer es, antes de comenzar a usar los números y hacer cuentas, ubicar la figura (o en este caso cuerpo) sobre la que vamos a trabajar. Por motivos de perspectiva va a parecer que las medidas son todas disparejas, pero en realidad lados se trata de un cuerpo formado a partir de lados opuestos de igual medida.[br] A partir de ello, y con ayuda del Geogebra y algunas herramientas de la geometría, comenzaremos a descubrir las medidas que se necesitan para hacer el presupuesto.[br] (Se va a representar lo que se ve en la foto, luego para llegar a la medida que de lo que se quiere construir solo hay que ampliar el ancho de la entrada)

El siguiente paso, y también de lo más importante para resolver el problema con tan escasos datos, está sujeto a un concepto vinculado a la perspectiva. [br] A partir de las continuaciones de los segmentos de la base del cuerpo se llega al punto de origen (punto de fuga), el Punto N (asumiendo que estén bien ubicados los puntos).[br] La utilidad de éste paso radica en que de ésto se pueden crear figuras con relaciones semejanza o congruencia que, a simple vista, no aparecen. Y de ésto último se pueden utilizar las relaciones métricas entre figuras para calcular con precisión las medidas que se tratan de tomar.

Observación: el punto M representa la mitad de la reja, altura desde la cual se supone se tomó la foto. Por lo tanto, debería estar sobre la recta en rojo que representa la altura a la que se tomó la foto. Esto se debe a detalles en la construcción, pero se puede obviar.

El siguiente paso, y antes de comenzar a hacer cuentas, es hacer una construcción auxiliar sobre la cual se pueda sacar provecho a los datos que se tienen.

Tomando en cuenta la perspectiva, fisicamente la longitud del segmento OF debe ser igual a la del segmento PL (tomando en cuenta el desnivel). El punto N está sobre la reja, y el segmento OF es una proyección del segmento PL a la altura de la calle. Dado que el cuerpo tiene apariencia de pirámide de base rectangular, de ello se tomaran los triángulos que surgen de ahí, y el triángulo NPL va a ser semejante al triángulo NOF, donde la diferencia está en la distancia entre PL y OF y el ángulo que forma la separación. De esto último se establece:[br][math]\frac{PL}{OF}=\frac{PN}{ON}=\frac{EN}{FN}[/math]

Ahora, con los datos que se tienen. se puede calcular. Primero, si los triángulos son semejantes, se puede calcular la proporción con ayuda de las herramientas de Geogebra. Según indica:[br][math]\frac{PL}{OF}=\frac{0.83}{1.23}\cong0.674[/math] (como se tiene la altura de la reja, y estos segmentos son verticales, la perspectiva no afectará estos datos)[br] Los lados correspondientes mantendrán esta razón, así que usaremos los segmentoss PN y ON.[br] PN se ve alterado por la perspectiva, pero se tiene el ángulo de corrimiento desde la pared, por lo que se puede suponer usando la cámara como punto auxiliar un tríangulo rectángulo TPN (T representa a la cámara) con ángulo recto en N.[br] De la cámara a N se tiene 15 metros, por lo que TN=15, el ángulo de 20° se ubicaría en T. Usando razones trigonométricas se tiene:[br] [math]Tan\left(20°\right)=\frac{PN}{15}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]PN=Tan\left(20°\right)\times15\cong5.46[/math][br] Luego:[br] [math]\frac{PN}{ON}=\frac{5.46}{ON}=0.674[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]ON=\frac{5.46}{0.674}\cong8.1[/math][br][br] Con éstos datos, ahora tomaremos al triángulo OPN (visto desde la foto es un segmento, desde la altura se ve que es un triángulo) rectángulo en P. Con ON y PN se puede calcular OP usando el teorema de pitágoras:[br] [math]\left(PN\right)^2+\left(OP\right)^2=\left(ON\right)^2[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]OP=\sqrt{\left(\left(ON\right)^2-\left(PN\right)^2\right)}=\sqrt{8.1^2-5.46^2}\cong5.98[/math][br] Recordemos que OP es equivalente a FL (es una proyección en la altura), por lo que sus medidas serás iguales, así que FL=5.98[br]

En la imagen, las medidas con borde blanco representan lo que Geogebra indica. Los que tienen borde rojo, son los provenientes de los cálculos alterados por la perspectiva.[br]