[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Drini-conjugatehyperbolas.png/250px-Drini-conjugatehyperbolas.png[/img]
calculo vectorial
El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial. Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside1(1850-1925).
Table of Contents
- Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
- hiperbola
- elipse
- curvas planas
- capitulo 11 Vectores y la geometría del espacio
- capitulo 11.1 vectores en el plano
- producto punto
- producto cruz 0 vectorial
- capitulo 12 Funciones vectoriales
- curvas en el espacio
- Vectores de posición, velocidad y aceleración
- Longitud de arco
- capitulo 13 funciones de varias variables
- limites Y continuidad
- Derivadas direccionales y gradientes
- Plano tangente y recta normal en superficie_1
- capitulo 14 integración múltiple
- integrales dobles
- Integral doble como volumen
- integrales dobles area
- Capitulo 15 análisis vectorial
- campo vectoriales
- integrales de linea
hiperbola
historia
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ge%C3%B3metra]geómetra[/url] y [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico]matemático[/url] griego [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Menecmo]Menecmo[/url] (380 A. C.- 320 A. C.), en su estudio del problema de la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Duplicaci%C3%B3n_del_cubo]duplicación del cubo[/url],[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola#cite_note-Heath-2]2[/url][/sup] mediante el cual demostró la existencia de una solución usando el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por los también geómetras [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Proclo]Proclo[/url] y [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes]Eratóstenes[/url].[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola#cite_note-3]3[/url][/sup][br]Sin embargo, el primero en usar el término [i]hipérbola[/i] fue [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_Perge]Apolonio de Perge[/url] en su tratado [i]Cónicas[/i],[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola#cite_note-4]4[/url][/sup] considerada la obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)]tangentes[/url] a las secciones cónicas.
representación grafica de la hipérbola
definición de hipérbola
Una hipérbola presenta [b]dos ramas abiertas[/b]. Ambas se dirigen en sentidos opuestos, aproximándose de forma indefinida a dos asíntotas. Esto hace que, considerando dos puntos fijos, la [url=https://definicion.de/diferencia/][b]diferencia[/b][/url] de sus distancias sea constante.[br]De acuerdo a la menor o mayor abertura de las [url=https://definicion.de/rama/][b]ramas[/b][/url] de la hipérbola, se calcula su [b]excentricidad[/b]. Esta excentricidad se conoce dividiendo la mitad de la distancia del eje focal por la mitad de la distancia del eje mayor
ecuación canónica de la hipérbola
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capitulo 11.1 vectores en el plano
ejercicio 45 y 46 del libro de calculo 2 varias variables
en este ejercicio hecho en GeoGebra clásico estoy haciendo la representación grafica en plano cartesiano de los ejercicios 45 y 46 del capitulo 11.1 vectores en plano
Las componentes de un vector
Las componentes de un vector[br]Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la[br]masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un solo número real en unidades de[br]medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama[br]escalar.[br]Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y[br]dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real.[br]Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido, como se muestra[br]en la figura 11.1. El segmento de recta dirigido tiene como punto inicial P y como[br]punto final Q y su longitud (o magnitud) se denota por Segmentos de recta dirigidos que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes, como se muestra en la[br]figura 11.2. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a[br]un segmento de recta dirigido dado es un vector en el plano y se denota por[br]En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como[br]u, v y w. Cuando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flecha[br]sobre ellas, como , y .[br]Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de[br]muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y[br]todos de la misma longitud
representación grafica de vectores en el plano
curvas en el espacio
curva en el espacio
Toda curva en el espacio R[br]n[br]se puede considerar como la imagen de una funci´on[br]vectorial[br]r : [a, b] → R[br]n[br], r(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),[br]que recibe el nombre de parametrizaci´on de la curva. Los puntos r(a) y r(b) son los[br]extremos inicial y final de la curva. En el caso de que r(a) = r(b), diremos que la[br]curva es cerrada.[br]Decimos que dos funciones ϕ : [a, b] → R[br]n y ψ : [α, β] → R[br]n[br]son equivalentes si existe[br]una funci´on λ : [a, b] → [α, β] biyectiva y continua tal que ψ ◦ λ = ϕ. La funci´on λ[br]recibe el nombre de cambio de par´ametro.[br]Dos funciones equivalentes representan parametrizaciones distintas de la misma curva[br]y la funci´on λ representa un cambio en la rapidez del movimiento.[br]- Si λ es creciente, se dice que las parametrizaciones ϕ y ψ conservan la orientaci´on[br]de la curva.[br]- Si λ es decreciente, las parametrizaciones ϕ y ψ invierten la orientaci´on de la curva.[br]Por ejemplo, las funciones[br]f1(t) = (cost,sen t), t ∈ [0, 2π],[br]f2(t) = (cost, − sen t), t ∈ [0, 2π],[br]f3(t) = (cos 2t,sen 2t), t ∈ [0, π],
representación grafica de una curva en el espacio
[img]data:image/jpeg;base64,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[/img]
video explicativo de una curva en el espacio
limites Y continuidad
Limites y continuidades
Los límites describen el comportamiento de una función conforme nos acercamos a cierto valor de entrada, sin importar el valor de salida de la función. La continuidad requiere que el comportamiento de una función alrededor de un punto sea igual al valor de la función en ese punto. Esta simple pero poderosa idea juega un papel fundamental en todo el cálculo.[br]■ Entender la definición de un entorno en el plano.[br]■ Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables.[br]■ Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables.[br]■ Extender el concepto de continuidad a una función de tres variables.[br]Entornos en el plano[br]En esta sección se estudiarán límites y continuidad de funciones de dos o tres variables. La[br]sección comienza con funciones de dos variables. Al final de la sección, los conceptos se[br]extienden a funciones de tres variables.[br]El estudio del límite de una función de dos variables inicia definiendo el análogo bidimensional de un intervalo en la recta real. Utilizando la fórmula para la distancia entre dos[br]puntos y en el plano, se puede definir el entorno de como el disco[br]con radio centrado en[br]como se muestra en la figura 13.18. Cuando esta fórmula contiene el signo de desigualdad[br]menor que, al disco se le llama abierto, y cuando contiene el signo de desigualdad menor o igual que, al disco se le llama cerrado. Esto corresponde al uso del y[br]del al definir intervalos abiertos y cerrados.[br]Un punto en una región del plano es un punto interior de si existe un[br]entorno d de que esté contenido completamente en como se muestra en la figura[br]13.19. Si todo punto de es un punto interior, entonces es una región abierta. Un punto[br]es un punto frontera de si todo disco abierto centrado en contiene puntos[br]dentro de y puntos fuera de Por definición, una región debe contener sus puntos interiores, pero no necesita contener sus puntos frontera. Si una región contiene todos sus puntos frontera, la región es cerrada. Una región que contiene algunos pero no todos sus puntos[br]frontera no es ni abierta ni cerrada.[br][img]data:image/png;base64,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[/img]
video explicativo de limite y continuidades
integrales dobles
integrales dobles
En esta guía vamos a estudiar la integral definida de una función de dos variables sobre una región en el[br]plano y la integral definida de una función de tres variables sobre una región en el espacio. Estas integrales se[br]conocen como integrales dobles e integrales triples, respectivamente. También vamos a considerar la integral[br]de una función de varias variables sobre una curva en el plano o el espacio, y sobre una superficie en el[br]espacio. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie, respectivamente.[br]La idea es similar a la de integral definida de una función de una variable, R b[br]a[br]F(x)dx. Cuando F(x) ≥ 0[br]en [a, b], esta integral representa el ´área bajo la curva y = F(x) sobre el intervalo. Pero recordemos que[br]la integral puede definirse sin recurrir al concepto de ´área, mediante sumas de Riemann. Comenzamos por[br]dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos que, “por simplicidad”, los tomaremos [img]data:image/png;base64,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[/img][br]