Extremwertsuche bei quadratischen Funktionen
Ein GeoGebra-Buch zur Bestimmung größter und kleinster Werte bei quadratischen Funktionen in Klasse 8 Mathematik.
İçindekiler
- Einführung
- Einführung Extremwertaufgaben
- Ein erstes Beispiel
- Lösungsverfahren
- Lösungsschritte
- Übungsaufgabe
- Übungsaufgabe 1
- Weitere Übungsaufgaben
Einführung Extremwertaufgaben
Aufgaben, die sich mit dem Auffinden und Berechnen größter bzw. kleinster Werte beschäftigt, nennt man Extremwertaufgaben. In diesem Buch lernst du die Vorgehensweise und einen Lösungsansatz zum Lösen dieses Aufgabentyps.
Lösungsschritte
1. Sachverhalt in Term übersetzen
Um überhaupt den Scheitel als größten bzw. kleinsten Wert bestimmen zu können, benötigen wir einen Term. Dieser Term muss den Sachverhalt korrekt beschreiben. Dabei hilft es, alle Daten farblich zu markieren und evtl. herauszuschreiben. Innerhalb der gegebenen Daten muss die Information enthalten sein, mit der wir unseren Term aufstellen. Dabei kann es vorkommen, dass Teile des Terms in mehreren einzelnen Informationen aufgespalten sind.
[i]Beispiel: [br][/i]Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a und b soll maximal sein. Der Umfang dieses Rechtecks beträgt 10 Längeneinheiten. Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.[br][br][i]Lösung Teil 1:[/i][br][math]A=a\cdot b[/math] Flächeninhalt aufstellen[br][math]2a+2b=10[/math]Umfang aufstellen[br][math]a=5-b[/math] Umfang nach a auflösen[br][math]A=\left(5-b\right)\cdot b=5b-b^2=-b^2+5b[/math] Term aufstellen, a in den Term für den Flächeninhalt einsetzen
2. Funktionsgleichung aufstellen
Aus dem Term stellen wir eine Funktionsgleichung auf. Dabei kann die Variable b durch die gewohnte Variable x ersetzt werden.
[i]Lösung Teil 2:[br][/i][math]y=-x^2+5x[/math]
3. Scheitelpunkt herausfinden
Der y-Wert des Scheitelpunkt stellt den größten bzw. kleinsten Wert dar, den der gegebene Term annehmen kann. Der x-Wert ist außer noch interessant, um angeben zu können, für welchen eingesetzten Wert das Maximum bzw. das Minimum erreicht wird.[br][br]Um den Scheitelpunkt herauszufinden überführen wir die Funktionsgleichung in Scheitelform.
[i][math][/math][/i][i]Lösung Teil 3:[br][/i][math]y=-\text{(x-2,5)^2+6,25}[/math][br][math]\text{S(2,5|6,25)}[/math]
4. Aufgabenstellung beantworten
Aus dem gefundenen Scheitelpunkt lassen sich die gewünschten Informationen entnehmen. Sollte man Variablen umbenannt haben muss man darauf achten, auch die korrekten Variablen anzugeben.
[i]Lösung Antwort:[br][/i]Der größtmögliche Flächeninhalt beträgt 6,25 Flächeneinheiten. Die Seite b hat die Länge 2,5 Längeneinheiten, die Seite a hat wegen a=5-b ebenfalls die Länge von 2,5 Längeneinheiten.
Übungsaufgabe 1
Eine Ponyweide soll mit einem 200m langen Elektrozaun rechteckig eingezäunt werden. Dabei benötigt man wegen eines Flusses auf einer Seite keinen Zaun. Die Weide soll möglichst eine große Fläche haben. Berechne den Fläche und gib an, welche Breite und welche Länge die Weide haben soll.
Fläche der Weide in [math]m^2[/math]
Länge der beiden Seiten in m