[justify]Los dos problemas fundamentales del algebra lineal son:[br][br] [math] \LARGE A \vec{x}= \vec{b}[/math] , sistema de ecuaciones [br][br][math] \LARGE A\vec{x} =\lambda \vec{x}[/math] , valores y vectores propios[br][br]Si las matrices son cuadradas, el primer problema [math] \large A \vec{x}[/math]= [math] \vec{b}[/math] tiene una única solución cuando las columnas de A son independientes. El segundo problema [math] \large A\vec{x} =\lambda \vec{x}[/math] cuando tiene solución para [math]\large \lambda[/math] y para  [math]\large \vec{x}[/math] produce vectores independientes (llamados vectores propios). Una parte importante de este curso es aprender el significado de "independencia". Lo mejor es aprender a partir de ejemplos. Se puede observar que:[/justify][br][center][math][br]\large[br]A=\begin{pmatrix}[br]1 & 1 & 2\\ [br]1 & 2 & 3 \\ [br]1 & 3 & 4[br]\end{pmatrix} \space \text{no tiene columnas independientes}[br][/math][/center]Si sumamos las columnas 1 y 2 obtenemos la columna 3. Un resultado sorprendente e importante del álgebra lineal establece que las filas [b]tampoco son independientes[/b]. La tercera fila debe estar en el mismo plano que las dos primeras. Con alguna combinación de los renglones 1 y 2 se obtiene el renglón 3. Quizá el lector , en la siguiente actividad, pueda encontrar rápidamente esta combinación (yo no pude). [br][br]Actividad:[br]Intente mover los deslizadores c y d hasta que el vector naranja sea el vector [math]\large \begin{pmatrix}{1}\\{3}\\{4}\end{pmatrix}[/math], ¿Cuáles son los valores de c y d?

[justify][br]Una matriz se puede ver como un conjunto de vectores, como en este caso, y esta visión es tremendamente útil en particular para entender el concepto de espacio vectorial que veremos más adelante.Otra manera de ver una matriz es por filas y est nos llevará a nuestro primer tema grueso del curso, el método de eliminación, un método general para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales.[br]La eliminación es una forma simple y natural de convertir una matriz en otra "equivalente" que tiene bastantes elementos iguales a cero y está sera la clave para resolver el sistema de ecuaciones.Por tanto, el curso empieza aquí. [br]¡Pero no se quede demasiado ! [br]El lector debe proceder de resolver sistemas de ecuaciones a construir combinaciones de las filas ylas columnas y analizar la independencia de estas y de ahí a las dimensiones de los espacios fila y columna. Este es el objetivo clave, abordar todos los espacios formados por los vectores: el espacio fila, el espacio columna y el espacio nulo.[br]También es importante comprender la manera en que [b]actúa[/b] una matriz sobre un vector. Cuando A (matriz) se multiplica por [math]\large \vec{x} [/math] (vector) se obtiene un nuevo vector [math] \large A\vec{x} [/math] . Si el vector recorre todos sus posibles valores, todo el espacio de vectores se mueve; es "transformado" por A. Entender estas transformaciones nos da luz para entender diferentes clases de matrices que son esenciales en el estudio del álgebra lineales: matrices diagonales, matrices ortogonales, matrices triangulares y las más importantes las matrices simétricas.[br][br]La belleza del álgebra lineal se puede apreciar de varias maneras:[br][br]1. [b]Visualización.[/b] Combinación de vectores. Espacios de vectores. Rotación, reflexión[br]y proyección de vectores. Vectores perpendiculares. Cuatro espacios fundamentales.[br][br]2. [b]Abstracción.[/b] Independencia de vectores. Base y dimensión de un espacio vectorial.[br]Transformaciones lineales. Descomposición del valor singular y la mejor base.[br][br]3. [b]Cálculo[/b]. Eliminación para producir matrices que resuelven sistemas de ecuaciones. Gram-Schmidt para producir vectores ortogonales. Valores propios para resolver ecuaciones diferenciales y estabilidad de sistemas dinámicos[br][br][br]El énfasis de este libro está en la comprensión: se intenta explicar, más que deducir. Es importante que el lector trabaje las diferentes actividades interactivas planteadas en el libro y no se conforme con su lectura de manera pasiva.Se ilustrarán ejemplos para enseñar lo que necesitan los estudiantes, de igual manera se brindarán referencias a videos y enlaces que reforzarán los conceptos del libro.[/justify][br][br][b]Este corto video sobre la enseñanza del Algebra Lineal del profesor del Mit Gilbert Strang , resume de excelente manera lo que acaba de leer, le puede interesar:[/b][justify][/justify]