Calcula el lugar geométrico del pie de la perpendicular X trazada desde un punto fijo P a las tangentes a los puntos de una circunferencia de centro O y radio R.

Si A es un punto de la circunferencia, y X el pie de la perpendicular trazada desde P a la tangente en A, en particular el vector [math]\vec{XP}[/math] es perpendicular al vector [math]\vec{XA}[/math]:[br][math]\vec{XP}·\vec{XA}=0[/math].[br][br]Además, [math]\vec{XP}[/math] y [math]\vec{OA}[/math] son paralelos pues el radio es perpendicular a la recta tangente. Así que [math]|\vec{XP}·\vec{OA}|=R·d(X,P)[/math][br][br]Pero también, [math]\vec{XP}·\vec{OA}=\vec{XP}·(\vec{OX}+\vec{XA})=\vec{XP}·\vec{OX}+\vec{XP}·\vec{XA}=\vec{XP}·\vec{OX}[/math][br][br]Por tanto, la ecuación del lugar geométrico resulta:[br][br][math]|\vec{PX}·\vec{OX}|=R·d(X,P)[/math].[br][br]El dibujo se corresponde con un "[url=https://es.wikipedia.org/wiki/Caracol_de_Pascal]Caracol de Pascal[/url]", que generaliza la curva cardioide.[br][br]

Situando el [b]centro de la circunferencia en el origen[/b], O=(0,0), si X=(x,y), P=(p,q), resulta[br][br][math]\fbox{|(x-p)·x+(y-q)·y|=R·\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}}[/math][br][br]elevando al cuadrado[br][br][math]\fbox{\left((x-p)·x+(y-q)·y\right)^2=R^2·\left((x-p)^2+(y-q)^2\right)}[/math]

Denotando [math]\rho=d(X,P)[/math], [math]\theta=\measuredangle(\vec{PO},\vec{PX})[/math] , a=d(P,O), podemos expresar el lugar geométrico como:[br][br][math]\begin{array}{rl}[br]R·d(P,X)&=\vec{PX}\cdot\vec{OX};\text{que reescribimos como}[br]\\R·\rho&=\vec{PX}\cdot(\vec{OP}+\vec{PX})[br]\\&=\vec{PX}\cdot\vec{OP}+d(X,P)^2=-\vec{PX}\cdot\vec{PO}+d(X,P)^2[br]\\&=-\rho·a·cos(\theta)+\rho^2[br]\end{array}[/math][br][br]Dividiendo entre [math]\rho[/math], resulta [math]R=-a·cos(\theta)+\rho[/math], de donde[br][br]el lugar geométrico resulta [math]\fbox{\rho=a·cos(\theta)+R}[/math][br]siendo[br][list][*]"R" es el radio de la circunferencia, [/*][*]"a" es la distancia entre el centro y el punto P.[/*][*]La variable [math]\rho[/math] es la distancia entre P y el punto del lugar geométrico.[br][/*][*]La variable [math]\theta[/math] es el ángulo formado por los vectores con origen en P en dirección a O y el punto del lugar geométrico.[br][/*][/list][br]Situando [b]P en el origen de coordenadas[/b] y O sobre el eje positivo de abscisas, la ecuación queda expresada directamente en coordenadas polares.