[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜頂点を利用する＞[/size][/size][/b][br][u]ｙ＝ax[sup]2[/sup]の頂点（0,0）をｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑ移動した２次関数[/u]とすると、[br]2次の係数はそのままで、ｘをｘ−ｐに変え、ｙをy−qに変えた式になり、[br][color=#0000ff][b][size=150]頂点(p,q)[/size][/b][/color]を通る、２次関数の式は[color=#0000ff][b][size=150]標準形y=a(x-p)[sup]2[/sup]＋q[/size][/b][/color]となる。[br]通る頂点が具体的にわかっているときは、aだけが未知数だ。[br]あと１つ情報がaが決められる。[br][color=#9900ff][b]ごく、まれですが、問題のための問題[/b][/color]をつくると、[br]定義域の端の値に「＝」が入らないときは、１次不等式の解の範囲と同様に、[br]その値には近づくがその値にはならない。だから、図形の上では端の値域があるのに、[br]数値の上では対応する値がないことがおきる。だから、最大、最小値が値としてはないこともある。[br]このような細かな設定に対応するために、[color=#0000ff][b]定義域に＝があれば●、なければ◯をつける[/b][/color]。[br]これをルールとして作業するとよい。[br][color=#0000ff]（例）[/color]点（１，２）が頂点の2次関数はy＝a(x-1)[sup]2[/sup]+2とおける。[br][color=#0000ff]（例）[/color]x軸に接する2次関数なら、[br]頂点を仮に、（p,0)として、y=a(x-p)[sup]2[/sup]とおける。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ＝３が軸の２次関数なら、[br]頂点を仮に、(3,q)として、y=a(x-3)+qとおける。[br][b][size=150]＜頂点を利用しないとき＞[/size][br][/b]・２次関数の頂点座標を使わない[b][size=150][color=#0000ff]一般形[/color][color=#0000ff]y=ax[/color][sup]2[/sup][color=#0000ff]+bx+cとして３[/color][/size][/b]未知数a,b,cを求めよう。[br]だから、グラフ上の３点の座標から連立方程式で求められる。[br]頂点はｘの式を平方完成すれば求められる。[br]やはり、[b]y=a(x-p)[sup]2[/sup]＋qの形にたよることになる。[/b][br]・２次関数が[color=#0000ff][b][size=150]ｘ軸との交点がわかる形ｙ＝c(x-a)(x-b)[/size][/b][/color]という式で与えられているならば、[br]ｙはｘ＝aまたはx＝bで０になるから、ｘ軸上のA(a,0),B(b,0)を通ることがわかる。[br]軸は線分ABを垂直に２等分するので、ｘ＝(a+b)/2となる。[br][br]

[size=150][b]＜定義域と値域＞[br][/b]ｘの変域を[b]定義域[/b]という。[br]ｙの変域を[b]値域[/b]という。[br][b][br]＜下に凸の２次関数の最大・最小＞[br][/b][/size]変域が軸のｘの値を含まない場合、[br][color=#0000ff]変域の両端に対応するｙの値[/color]が最大値、最小値の候補になる。[br]変域に軸のｘの値が含まれる場合、[br][color=#0000ff]頂点のｙ座標が最小値[/color]となる。最大値の候補は上記と同様。[br][color=#0000ff]文字が２種類あるときや、高次式の最大最小では、置き換え・代入により１文字の２次関数にしよう。[br]（例）[br]「[/color]第１象限で、3x+2y=1のときのｔ＝3x[sup]2[/sup]+4y[sup]2[/sup]の[br]最大値と最小値（そうなるときのｘ）」は？[br]陰関数形では見通しが悪いので、１変数についての陽関数形にして、変数を統一する。[br]直線のグラフはx切片が1/3、y切片が1/2で、第１象限なので、xは0以上で1/3以下。[br]これがｔの定義域となるね。[br]t(x)=3x[sup]2[/sup]+4((1-3x)/2)[sup]2[/sup]=12x[sup]2[/sup]-6x+1=12(x-1/4)[sup]2[/sup]+1/4。[br]対称軸ｘ＝1/4はｘの変域の右はしｘ＝1/3の方に近いから、左はしのｘ＝０で最大になる。[br]最小値は対称軸で頂点のｙ座標。[br]つまり、最大値はt(0)=1。最小値は頂点のy座標t(1/4)=1/4。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｘ[sup]2[/sup]-2xy+2y2=1を満たすｘ，ｙのｋ＝ｘ＋ｙの[br]最大値と最小値（そうなるときのｘ）」は？[br]y=k-xと変形して代入するとf(x)=x[sup]2[/sup]-2x(k-x)+2(k-x)[sup]2[/sup]-1=5x[sup]2[/sup]-6kx+2k[sup]2[/sup]-1＝0の判別式D/4=(-3k)[sup]2[/sup]-5(2k[sup]2[/sup]-1)[br]=-k[sup]2[/sup]+5が０以上のときに解をもつから、ｋがー√5以上√5以下となる。[br]kの最大値√5のとき、f(x)=0は重複解x=3√5/5。kの最小値-√5のとき、f(x)=0は重複解x=-3√3/5[br][br][size=150][size=150][b]＜上に凸の２次関数の最大・最小＞[br][/b][/size][size=100]変域が軸のｘの値を含まない場合、変域の両端に対応するｙの値が[br]最大値、最小値の候補になる。[br]変域に軸のｘの値が含まれる場合、[color=#0000ff]頂点のｙ座標が最大値[/color]となる。[br]最大値の候補は上記と同様。[br][/size][/size][br][b][size=150]＜相対的に変域が移動する場合の最大・最小＞[br][/size][/b]変域が固定されていて、グラフが移動する場合、[br]グラフが固定されて、変域が移動する場合、[br]どちらにして、グラフからみれば、相対的に変域が移動する。[br]グラフを移動して考えるのは書く手間もかかるし、イメージもしにくい。[br]だから、[color=#0000ff][b][size=150]グラフの対称軸を固定して、定義域の区間が移動するという順番[/size][/b][/color]で[br]場合わけすれば、図もかきやすいし、イメージもしやすいでしょう。[br][color=#0000ff]固定幅の定義域でのグラフ移動では、[br]対称軸が定義域の中にあるか、どっちに外れるかの３つに場合わかしよう。[br]（例）[br]「[/color]頂点が(a,a)のｙ＝f(x)=(x-a)[sup]2[/sup]+aの最小値m[br]（定義域が[math]0\le x\le2[/math]のとき）をaの関数式にする」と？[br]a<=0なら（対称軸x=aが定義域のはしのｘ＝０以下）[br]　　　最小値は定義域のはしのｘ＝０のときのｆ(0)だから、[br]　　　m(a)=f(0)=a[sup]2[/sup]+a[br]2<=aなら（対称軸x=aが定義域のはしのｘ＝２以上）[br]　　　最小値は定義域のはしのｘ＝２のときのｆ(2)だから、[br]　　　m(a)=f(2)=(2-a)[sup]2[/sup]+a=a[sup]2[/sup]-3a+4[br]のこりの場合（aは０と２の間にあると、対称軸が定義域からはみ出ない）[br]　　　最小値は対称軸x=aのときの頂点のｙ座標になるから、[br]　　　m(a)=f(a)=a

[size=150][size=100]最大最小は平方完成して、軸と頂点を求めよう。[br]軸が定義域の中にあれば、頂点で最小か最大。[br]どちらになるかは、２次の係数で下に凸か上に凸かで判断できるね。[br]また、軸が定義域の中点より右か左に偏っていると、定義域の端の関数値で最大か最小。[br][/size][b]＜最小値の最大化＞[br][/b][/size][color=#0000ff]（例）[/color][br]「y=x[sup]2[/sup]-2ax+2a+1の定義域を０以上３以下のときの最小値の最大値」は？[br]平方完成f(x)=y=(x-a)[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup]+2a+1の軸x=aと頂点（a,-a[sup]2[/sup]+2a+1)[br]軸ｘ=aが０以上３以下なら、最小値f(a)=-a[sup]2[/sup]+2a+1=-(a-1)[sup]2[/sup]+2[br]軸ｘ=aが３より大なら最小値f(3)=-4a+10。軸ｘ＝aが０より小なら、最小値f(0)=2a+1[br]だから、この３つのグラフをつなぐとm(a)は０以上３以下で上に凸で頂点(1,2)で最大。[br]残りの範囲では左右とも、負の無限大に向かう直線になる。最大値は２(a=1で)[br][b][size=150]＜２変数関数の変化＞[/size][/b][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「第一象限でx+y=1のときの2x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]の最大・最小値」は？[br]y=1-xを代入すると、M(x)=2x[sup]2[/sup]+(1-x)[sup]2[/sup]=3x[sup]2[/sup]-2x+1=3(x-1/3)[sup]2[/sup]+2/3は軸がx=1/3で頂点が(1/3, 2/3) [br]1-xが０以上となるｘは１以下だから、ｘの変域は０以上１以下。だから、軸ｘ=1/3が入る。[br]下に凸だから、ｘ=1/3,y=2/3のとき、最小値2/3。[br]変域では１/3は中点1/2より小さいから、最大値はｘ＝１のときM(1)=2・1[sup]2[/sup]+(1-1)[sup]2[/sup]=2。[br][b][size=150]＜最小値の最小化＞[/size][/b][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｘ，ｙが実数のときf(x)=x[sup]2[/sup]-2xy+3y2-2x+10y+1の最小値の最小値」は？[br]ｘについて整理してy=tとおくと、f(x)=x[sup]2[/sup]-2(t+1)x+3t[sup]2[/sup]+10t+1＝(x-(t+1))2+2t[sup]2[/sup]+8tの軸ｘ＝t+1と頂点[br](t+1,2t[sup]2[/sup]+8t）下に凸だから、最小値は2t[sup]2[/sup]+8t=2(t+2)[sup]2[/sup]-8で、t=-2で最小値-8になる。