Diagonali di un poligono
[size=150]In geometria un [b]poligono[/b] (dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo") è una figura geometrica piana delimitata da una [b]linea spezzata chiusa[/b] (unione di segmenti consecutivi non adiacenti). [br][br]I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano [b]lati[/b] del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono [b]vertici[/b] del poligono.[br][br]Si chiama [b]diagonale[/b] il segmento che congiunge due vertici [u]non consecutivi[/u] di un poligono.[br][br][/size][size=150]Nelle finestre di GeoGebra qui sotto dovrai rappresentare il poligono richiesto (usa lo strumento Poligono) e tracciare TUTTE le sue diagonali (usa lo strumento Segmento e congiungi due vertici non consecutivi).[/size]
TRIANGOLO
[size=150]Quante diagonali ha un TRIANGOLO?[/size]
QUADRILATERO
[size=150]Quante diagonali ha un QUADRILATERO?[/size]
PENTAGONO
[size=150]Quante diagonali ha un PENTAGONO?[/size]
[size=150]Quante diagonali ha un ESAGONO?[/size]
ESAGONO
[size=150]Quante diagonali ha un ETTAGONO?[/size]
ETTAGONO (poligono di 7 lati)
[size=150]Quante diagonali ha un OTTAGONO?[/size]
OTTAGONO
Ecco i nomi dei poligoni in base al numero di lati!
Completa la tabella con i numeri di diagonali che hai trovato.
[size=150]C'è un legame che intercorre tra il numero di lati e il numero di diagonali di un poligono. Adesso lo scopriamo insieme.[br][br]Immaginiamo di avere un poligono di n lati. [br]Siccome per tracciare le diagonali congiungi ciascun vertice a tutti i vertici a lui [u]non consecutivi[/u], a quanti vertici congiungi ciascuno degli n vertici?[/size]
[size=150]Però bisogna fare attenzione, così ragionando io conto due volte ciascuna diagonale! La conto una volta congiungendo un vertice a uno non consecutivo e un'altra volta quando faccio il viceversa, vero?[br]Quindi cosa devo fare per non contare due volte ciascuna diagonale?[/size]
[size=150]Quante diagonali ha un poligono di 20 lati?[/size]
[size=150]La formula del numero [b]d[/b] di diagonali di un poligono di [b]n[/b] lati è allora questa:[br][br][/size][center][math]d=\frac{n\left(n-3\right)}{2}[/math][/center][size=150]Se verificassi vedresti che la tabella che hai compilato sopra rispetta questa legge.[/size]
[size=150]Quanti lati ha un poligono di 90 diagonali?[br][br][center][math]\frac{n\left(n-3\right)}{2}=90[/math][br][br]Moltiplico per 2 ambo i membri[br][br][math]n\left(n-3\right)=180[/math][br][br]Sviluppo i calcoli[br][br][br][math]n^2-3n-180=0[/math][br][br]E' un trinomio speciale come abbiamo imparato stamattina![br]Mi servono due numeri che diano come prodotto -180 e come somma -3.[br]Pensa che -18 e 10 danno come prodotto -180 e come somma -8.[br][/center][/size]
[size=150]Ci sono problemi di realtà che si possono risolvere con un ragionamento molto simile.[br][br]In un torneo di calcio ogni squadra gioca una partita contro ogni altra squadra una sola volta. Se in tutto si giocano 120 partite, quante squadre ci sono in tutto?[/size]
[size=150]Se ciascuno di voi stringesse la mano a ciascuno dei suoi 26 compagni, quante strette di mano ci sarebbero in tutto?[/size]