[url=http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm]http://www.arndt-bruenner.de [math]\nearrow[/math][br][/url][br]Ausgangsfunktionen sind die Spline-Funktionen[br][br][math]S_i(x) : a_i (x-x_i)³ + b_i(x-x_i)² + c_i(x-x_i) + d_i = y_i [/math] [br][br]Diese Form, Verallgemeinerung der Tangentengleichung [i]f(x):=f'(x[sub]0[/sub])(x-x[sub]0[/sub]) + y[sub]0[/sub][/i] hat gewisse Vorzüge z.B.[br][br][math]S_i\left(x_i \right) = d_i = y_i[/math][br]die Konstante d[sub]i[/sub] entspricht dem y-Wert eines Stützpunktes - bestimmt werden müssen nur noch die Variablen a[sub]i[/sub], b[sub]i[/sub], c[sub]i[/sub].[br][br][math]S'_i(x) \, := \, 3 \; a_i \; \left(x - x_i \right)^{2} + 2 \; b_i \; \left(x - x_i \right) + c_i \quad \to \quad S_i'\left(x_i \right)= c_i[/math] [br]die Variable c[sub]i[/sub] entspricht der Steigung der Funktion im Stützpunkt.[br][br][math]S''_i(x) \, := \, 6 \; a_i \; \left(x - x_i \right) + 2 \; b_i \quad \to \quad S_i''\left(x_i \right)= 2 b_i[/math][br]die Variable b[sub]i[/sub] entspricht der 2.ten Ableitung/2 der Funktion im Stützpunkt. [br]Andere Autoren ([url=https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/jrham9kp]wikipedia[math]\nwarrow[/math][/url]) sprechen von Momenten.[br][br]Umformungen (siehe Link) mit S[sub]i-1[/sub](x[sub]i[/sub]) = S[sub]i[/sub](x[sub]i[/sub]) [math]\wedge[/math] S'[sub]i-1[/sub](x[sub]i[/sub]) = S'[sub]i[/sub](x[sub]i[/sub])) führen auf [br][math]III: \, a_{i-1} = \frac{b_{i} - b_{i-1}}{3 \; (x_{i} - \; x_{i-1})}[/math][br][math]V': \, c_{i} = \frac{d_{i+1} - d_{i}}{x_{i}-x_{i+1}} - \left(x_{i} - x_{i+1} \right) \cdot \frac{b_{i+1} + 2 \; b_{i}}{3}[/math][br]zur Berechnung der b[sub]i[/sub] [br][math]VI:(x_i-x_{i-1})b_{i-1} + 2(x_{i+1}-x_{i-1})b_i + (x_{i+1}-x_i)b_{i+1} = 3((d_{i+1}-d_{i})/(x_{i+1}-x_i) - (d_i-d_{i-1})/(x_i-x_{i-1}))[/math][br]CAS Zeile (1) [br]Zusammengefasst als Matrixgleichung (2)(3)(4)(5) [br][math]\large\rightarrow[/math] (7)b[sub]i[/sub][math]\Rightarrow[/math]bi, (8)a[sub]i[/sub][math]\Rightarrow[/math]fa(i), (9)c[sub]i[/sub][math]\Rightarrow[/math]fc(i), d[sub]i[/sub][math]\Rightarrow[/math]y[sub]i[/sub][br][br][i]n≥3, note: shift index (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]),...,(x[sub]n[/sub],y[sub]n[/sub]) ggb list indexing (x(1),y(1)),...,(x(n+1),x(n+1))[/i][br]Notation siehe Seite unten[br]