Die Angebotsfunktion [math]p_A(x)[/math] wird wie auch die Nachfragefunktion [math]p_N(x)[/math] aus Sicht der Mathematik eigentlich oft falsch dargestellt. Der Funktionsname [math]p_A(x)[/math] deutet ja an, dass der Preis abhängig von der angebotenen Menge [math]x[/math] ist. Aber in der Praxis ist das in der Regel umgekehrt: Die unabhängige Variable ist der Preis. Der marktpreis kann sich ändern und daraufhin, also davon abhängig, verändert sich die angebotene Warenmenge. Eigentlich müsste es daher [math]x_A(p)[/math] heißen. [br]Da wir aber die Preisfunktion gerne in das gleiche Koordinatensystem einzeichnen wollen, wie den Erlös und die Kosten, ist es aus Sicht der Mathematik doch erklärlich, dass man die Abhängigkeit von Preis und Warenmenge als [math]p(x)[/math] darstellt.[br]Festzuhalten ist, dass der der Preis die verursachende Größe ist: Ist der Marktpreis höher, dann finden sich mehr Anbieter, die die Ware für diesen Preis auf den Markt bringen wollen:[br][br][math]e_A(x)=\frac{\frac{dx}{x}}{\frac{dp_A}{p_A}}={\frac{dx}{x}}:{\frac{dp_A}{p_A}}={\frac{dx}{x}}\cdot{\frac{p_A}{dp_A}}={\frac 1{\frac{x}\fgcolor{#AA0000}{dx}}\cdot{\frac{p_A}\fgcolor{#AA0000}{dp_A}}=\frac{p_A}{x\cdot\frac\fgcolor{#AA0000}{dp_A}\fgcolor{#AA0000}{dx}}=\frac{p_A}{x\cdot \fgcolor{#AA0000}{p_A'}}[/math][br][br]also ist die Elastizität des Angebotes:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{e_A(x)=\frac{p_A(x)}{x\cdot p_A'(x)}}\]}}[/math][br][br]Beim Angebot ergibt eine Erhöhung des Preises (das ist eine positive relative Änderung) auch eine Erhöhung der angebotenen Menge (das ist eine positive relative Änderung).[br][br][color=#980000][b]Daher ist die Elastizität des Angebotes immer positiv.[/b][/color]

Gegeben ist die Nachfragefunktion [math]p_A(x)=-0,1 \; x^{2} + 3 \; x + 7,5[/math]. Dann lautet die Ableitungsfunktion [math]p_A'(x)=-0,2\,x+3[/math] und die Elastizität des Angebotes ist:[br][br][math]e_A(x)=\frac{-0,1 \; x^{2} + 3 \; x + 7,5}{x\cdot(-0,2\,x+3)}=\frac{-0,1 \; x^{2} + 3 \; x + 7,5}{-0,2\,x^2+3\,x}[/math][br][br][math]p_A(x)[/math] ist monoton steigend bis [math]x=15[/math], ab dort sinkt der Funktionsgraf wieder. Das Sinken ist für eine Angebotsfunktion unlogisch, denn wenn der Preis steigt, dann steigt auch die Menge der angebotenen Ware. Das heißt, dass der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich [math]D_{ök}=]0;15[ [/math] ist. In diesem gesamten Definitionsbereich ist die Elastizität positiv. Die nach außen gekehrten Klammern des Intervalls deuten an, dass die Funktionswerte von [math]e_A(x)[/math] für [math]x=0[/math] und [math]x=15[/math] nicht definiert sind, hier hat die Elastizitätsfunktion Polstellen. [br][br]Wenn man versucht die Stelle zu berechnen, bei der die Situation proportionel elastisch ist, dann findet man keine Lösung. Wenn man sich den Funktionsgrafen von [math]e_A(x)[/math] ansieht, kann man sehen warum: Dieser hat im ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich ein Minimum im Punkt [math](5|2)[/math]. Das heißt, dass der Funktionswert 1 oder kleinere Werte nie erreicht werden. [br][list][*]Das heißt in der Angebotsfunktion [math]p_A(x)[/math] ist die Situation [i]im gesamten ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich[/i] [b]elastisch[/b]. Eine beliebige prozentuale Erhöhung des Preises würde immer zu einer noch höheren prozentualen Erhöhung der Warenmenge führen.[/*][/list][br][br]Wie immer gilt: [b]Schauen Sie sich zu allen Gleichungen die Funktionsgrafen an und versuchen Sie all diese Rechnungen auch an Hand des Funktionsgrafen nachzuvollziehen.[/b]