[b]Funções polinomiais do segundo grau[/b], ou [b]funções quadráticas[/b], são funções [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] expressas por polinômios de grau 2, isto é, [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math], com [math]a\ne0[/math]. Tais funções assumem o formato de uma parábola, e podemos observar exemplos de gráficos abaixo:

O coeficiente [math]a[/math] determina a concavidade da parábola:[list][*]se [math]a>0[/math], temos uma parábola voltada para cima;[/*][*]se [math]a<0[/math], temos uma parábola voltada para baixo.[/*][/list] O coeficiente [math]c[/math] determina onde a função intercepta o eixo y, ou seja, [math]f\left(0\right)=c[/math].[br] O coeficiente [math]b[/math] caracteriza o crescimento da função no ponto [math]\left(0,c\right)[/math]. Assim, temos que[br][list][*]se [math]b>0[/math], [math]f[/math] é crescente em [math]x=0[/math];[/*][*]se [math]b<0[/math], [math]f[/math] é decrescente em [math]x=0[/math];[/*][*]se [math]b=0[/math], [math]f[/math] é crescente e decrescente em [math]x=0[/math], e o ponto [math]\left(0,c\right)[/math] é o vértice da parábola.[/*][/list] A partir disso, o coeficiente [math]b[/math] também determina onde se encontra o vértice da parábola. O [b]vértice [/b]é o ponto extremo da parábola (representado em [b][color=#0000ff]azul[/color][/b] no Applet abaixo): se a parábola é voltada pra cima, o vértice é o mínimo da função; se a parábola é voltara para baixo, o vértice é o máximo da função.[br] Manipule o Applet abaixo e observe como cada coeficiente modifica a função polinomial do segundo grau.[br]

As raízes são representadas pelos pontos em [b][color=#ff0000]vermelho [/color][/b]no Applet acima. Estes são os pontos em que a função intercepta o eixo-x, ou seja, valores de [math]x[/math] onde [math]f\left(x\right)=0[/math]. [br] Para determinarmos as raízes, temos [math]f\left(x\right)=0[/math], ou seja, [math]ax^2+bx+c=0[/math] e determinamos as raízes utilizando a relação de Bhaskara ou outras técnicas, como equações incompletas (quando [math]b=0[/math] ou [math]c=0[/math]) ou Soma e Produto.[br] A partir disso, podemos realizar outra análise sobre a função. Sendo o discriminante [math]\Delta=b^2-4ac[/math],[br][list][*]se [math]\Delta>0[/math], a função apresenta duas raízes reais distintas;[/*][*]se [math]\Delta=0[/math], a função apresenta uma raiz real (ou duas raízes reais iguais);[/*][*]se [math]\Delta<0[/math], a função não apresenta raízes reais.[/*][/list] Assim, partindo do discriminante [math]\Delta[/math], sabemos se a função intercepta o eixo-x e em quantos pontos.

[left] Para determinarmos o [b]vértice [/b]da parábola, utilizamos as seguintes fórmulas:[/left][center][math]x_v=-\frac{b}{2a}[/math] e [math]y_v=f\left(x_v\right)=-\frac{\Delta}{4a}[/math][br][/center] Assim, o vértice é o ponto [math]\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math].[br] Observe a relação do discriminante [math]\Delta[/math] e o vértice no Applet abaixo.

Assim como toda função polinomial, as funções polinomiais de segundo grau têm como domínio o conjunto [math]\mathbb{R}[/math] dos números reais.[br] Diferente das funções polinomiais de primeiro grau, as funções polinomiais de segundo grau possuem um mínimo, ou um máximo. Assim, sua imagem depende de sua concavidade. Observe no Applet abaixo:[br]

[justify][/justify][list][*]se [math]a>0[/math], a função é côncava para cima, e possui um ponto mínimo. Assim, a imagem é formada pelos valores [math]y\ge y_v[/math];[/*][*]se [math]a<0[/math], a função é côncava para baixo, e possui um ponto máximo. Assim, a imagem é formada pelos valores [math]y\le y_v[/math].[/*][/list]