Wir beginnen unsere Überlegung wieder mit 2 windschiefen Geraden. [br][br]Die Grundidee des Konzeptes der Hilsebene ist, daß man eine Ebene durch eine Gerade legen kann, derart, daß sie parallel zur zweiten Gerade ist. Das bedeutet, daß ihr Normalenvektor snkrecht auf beiden Geraden stehen muß. Im Lambacher Shweizer wird das durch 2 Skalarprodukte bewerstelligt.[br][br]Da uns das Mittel des Kreuzproduktes zur Verfügung steht, verwenden wir diesen einfacheren Weg.
Im Applet unten können Sie mit dem "Aktualisieren Button" die Geraden immer wieder neu verwenden, die Parametergleichungen werden dann jeweils passend eingeblendet.[br][br]Betrachten Sie die Geraden unter unterschiedlichen Perspektiven und blendenSie mit den Checkboxen die Stütz- und Richtungsvektoren ein.[br][br]Den paarweise auf den Richtungsvektoren senkrechten Vektor können Sie dann zur Übung mit dem Kreuzprodukt bilden und Ihr Ergebnis mit dem eingeblendeten vergleichen.[br]
Wie können Sie nun die gesuchte Ebene aufstellen?
Mit dem aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren geildeten Normalenvektor kann die Ebene über die Normalenform aufgestellt werden. Der Stützvektor der Gerade die in der Ebene liegen soll kann dann als Stützvektor der Normalenform geneommen werden.[br][br]Hinweis: Die Ebenengleichung mit den Komponenten des Normlenvektors als Koeffizienten wäre ebenfalls denkbar, führt aber dann beim nächsten Schritt nicht weiter.
a) Was gilt für den Abstand aller zur Ebene parallelen Gerade?[br]b) Was hat dies für die Abstandsberechnung zur Folge
a) Jeder Punkt der Gerade ist gleich weit von der Ebene entfernt.[br]b) Man kann damit einen beliebigen Punkt der Gerade zur Abstandsberechnung heranziehen. Dazu bietet sich der Stützvektor der Gerade an. Damit ist die Berechnung des Abstandes zweier Geraden auf die Berechnung des Abstands eines Punktes und einer Ebene reduziert:[br][br]Man setzt also den Stützvektor der zweiten Gerade in die Normalengleichung der Ebene ein: Hessesche Normalenform!
Die Berehnung des Abstands zweier Geraden kann über eine Hilfsebene erfolgen. Der Ablauf ist wie folgt:[br][list=1][*]Kreuzprodukt der Richtungsvektoren liefert den Normalenvektor der aufzustellenden Ebene[/*][*]Die Ebenengleichung kann dann mit dem Stützvektor einer Gerade und dem Normalenvektor aufgestellt werden[/*][*]Da alle Punkte der anderen Geraden den gleichen Abstand zu dieser Ebene haben, kann ein beliebiger Punkt dieser Gerade (i. A. gebildet durch den Stützvektor) ind die Ebenengleichung eingesetzt werden. Die so aufgestellte Hessesche Normalenform liefert direlt den Abstand der beiden Geraden[br][/*][/list]
Durch den Aktualisieren Button können Sie beliebig viele Geraden generieren. Berechnen Sie den Abstand mit den 3 vorgestellten Techniken -Sie können Ihr Ergebnis so selbst verproben. Außerdem können Sie den Abstand im Applet jeweils einblenden.