Eine [b][color=#980000]Funktionenschar[/color][/b] hat neben der freien Variablen (hier oft mit [math]x[/math] bezeichnet) einen weiteren Buchstaben in der Funktionsgleichung, einen [b][color=#980000]Schar-Parameter[/color][/b]. In der Regel ist ein Definitionsbereich für den Scharparameter angegeben. Solche Parameter helfen oft dabei, eine Funktionsgleichung an eine vorgegebene Situation anzupassen.[br]In [color=#0000ff][b]Geogebra[/b][/color] lassen sich Funktionenscharen besonders leicht analysieren: Speichern Sie irgend eine Zahl unter dem Namen Ihres Scharparameters ab und erstellen Sie für den Scharparameter einen Schieberegler. Dann speichern Sie Ihre Funktionenschar ab. Wenn Sie nun den Schieberegler bedienen, dann können Sie miterleben, wie sich der Funktionsgraf dabei verändert. [br]Unter "Eigenschaften" können Sie bei Ihrer Funktionenschar [color=#0000ff][b]Spur anzeigen[/b][/color] anklicken. Dann bleiben beim Bewegen des Schiebereglers die verschiedenen Funktionen sichbar. Man sieht also die ganze Schar von Funktionen. In vielen Fällen erzeugt das sogar ästhetisch schöne Bilder.[br][br]Hier sind einige Funktionenscharen von Produktlebenszyklen angegeben. Finden Sie mit Hilfe von Geogebra heraus, welchen Einfluss die Scharparameter auf den Verlauf der Funktionsgrafen haben und was das in der Anwendungssituation für das betrachtete Produkt bedeutet. Die Abszisse beschreibt hier die Monate eines Jahres.[br][br][list][*][math]a_k(x)=100\cdot(x^2-k\cdot x)\cdot e^{-x}[/math] mit [math]k>1[/math][/*][*][math]b_r(x)=10\cdot(x-r)\cdot e^{-(x-r)}[/math] mit [math]r\ge 0[/math][/*][*][math]c_m(x)=m\cdot(x^2-2\cdot x)\cdot e^{-\frac{x}{2}}[/math] mit [math]m>1[/math][/*][*][math]d_a(x)=20\cdot\frac{x}{a}\cdot e^{-\frac{x}{a}}[/math] mit [math]2\le a\le50[/math][/*][/list]Schauen Sie sich dazu auch noch einmal das Kapitel[b] [url=https://www.geogebra.org/m/bpdrrq26#material/de735yum]Verschieben und Strecken entlang der Achsen[/url][/b] an, oft haben Parameter einfach die Funktion, einen Funktionsgrafen in einem Koordinatensystem zu verschieben oder zu strecken.

Auch von Funktionenscharen kann man alle möglichen Eigenschaften berechnen, wie Nullstellen, Steigungen, Extrempunkte oder Wendepunkte. Aber oft sind diese Eigenschaften auch abhängig von Schar-Parameter. das verändert aber nicht die rechenregeln. Behandeln Sie den Schar-Parameter so. als wäre es eine Zahl.

Berechnen Sie den Hochpunkt der Funktionenschar [math]c_m(x)=m\cdot(x^2-2\cdot x)\cdot e^{-\frac{x}{2}}[/math] mit [math]m>1[/math]:[br][br][b]Notwendige Bedingung für Extremstellen[/b]: [math]c_m'(x_E)=0[/math][br]Die Ableitungsfunktion von [math]c_m[/math] ist [math]c_m'(x)=m\cdot(-\frac{x^2}2+3\,x-2)\cdot e^{-\frac x2}[/math][br]Die Nullstellen von [math]c_m'[/math] sind die Nullstellen von [math]m\cdot (-\frac{x^2}2+3\,x-2)[/math], weil die [math]e[/math]-Funktion für alle [math]x[/math] größer als Null ist. Mit p-q-Formel oder Geogebra erhält man die Nullstellen: [math]x_{E1}=-\sqrt{5}+3[/math] und [math]x_{E2}=\sqrt{5}+3[/math]. Weil in diesen Ergebnissen der Scharparameter m nicht mehr vorkommt, kann man daraus schließen, [b][color=#980000]dass die Extremstellen unabhängig vom Scharparameter[/color][/b][math]\fgcolor{#980000}\mathbf m[/math][color=#980000][b] sind[/b][/color].[br][br][b]Hinreichende Bedingung für Extremstellen[/b]: [math]c_m''(x_E)[/math][br]Mit [math]c_m''(x)=\frac{m}{4}\cdot(x^2-10x+16)\cdot e^{-\frac{x}{2}}[/math] ist [math]c_m''(-\sqrt 5 +3)=\sqrt{5} \; m \; \textit{e}^{\frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} - 3 \right)}[/math] das ist [math]>0[/math], weil [math]m>1[/math]. Also ist hier ein Tiefpunkt. [br] [math]c_m''(\sqrt 5 +3)=-\sqrt{5} \; m \; \textit{e}^{\frac{1}{2} \; \left(-\sqrt{5} - 3 \right)}[/math] das ist [math]<0[/math], weil [math]m>1[/math] ist. Also ist hier ein Hochpunkt.[br][br][b]Funktionswert des Hochpunktes[/b]: [math]c_m(\sqrt{5}+3)\approx1,24\cdot m[/math] [b][color=#980000]Die y-Koordinate des Hochpunktes ist also abhängig vom Scharparameter[/color][/b] [math]\fgcolor{#980000}\mathbf m[/math].[br][br]Damit ist der Hochpunkt [math]\mathbf H(\sqrt 5 +3\vert 1,24\cdot m)[/math]